matlab单级倒立摆超前校正控制系统设计

### 使用 MATLAB 进行单级倒立摆系统的超前校正控制设计

#### 一、系统建模与分析
对于单级倒立摆系统，首先需要建立其数学模型并进行初步的稳定性分析。这可以通过根轨迹图和 Bode 图来完成。

通过构建线性化状态空间方程表示该系统，并利用 `tf` 或者 `ss` 函数定义传递函数或状态空间对象[^1]：

% 定义系统参数
m = 0.2; % 小车质量 (kg)
M = 0.5; % 杆的质量 (kg)
l = 0.5; % 杆长度 (m)
g = 9.81; % 重力加速度 (m/s^2)

A = [0 1 0 0;
     0 -(M+m)*g/(M*l) g*m/M l*(M+m)/M;
     0 0 0 1;
     0 m*g/l -g*(M+m)/(M*l) 0];
B = [0;
     1/(M*l);
     0;
     -1/l];
C = eye(4); D = zeros(4,1);

sys = ss(A,B,C,D);

接着可以绘制根轨迹图以了解未补偿系统的稳定性和动态特性:

rlocus(sys)
title('Root Locus of Uncompensated Inverted Pendulum System')
grid on

以及频率响应曲线(Bode Plot):

figure
margin(sys,'Phase') % 绘制相位裕度
bode(sys)
title('Frequency Response of Uncompensated Inverted Pendulum System')
grid on

#### 二、超前校正器的设计
为了改善系统的瞬态性能和平稳性，引入了一个超前校正环节。此过程涉及选择合适的零极点位置使得闭环系统满足特定的要求如上升时间、峰值时间和阻尼比等。

假设已经选择了适当的增益Kc作为比例因子，则可按照如下方式创建一个简单的PD控制器（即一种形式上的超前校正），其中Td代表微分作用的时间常数：

Kc = 10; Td = 0.1;

num_pd=[Td*Kc Kc]; den_pd=[Td 1];

D=tf(num_pd,den_pd);

随后将上述 PD 控制器应用于原始开环系统上形成新的复合结构，并再次评估改进后的整体行为特征：

sys_cl=feedback(D*sys,1);
step(sys_cl)
title(['Step Response with Lead Compensation: ', num2str(Kc), ' * s + ', num2str(Td)])
grid on

最后一步是在 Simulink 中搭建完整的物理实验平台模拟环境，以便更直观地测试所提出的算法有效性及其鲁棒性质。在此基础上不断迭代优化直至达到预期目标为止。