主成分分析的数学模型及几何解释

主成分分析（PCA，Principal Component Analysis）是一种常用的统计降维方法，它通过对数据集进行线性变换，找出其中最重要的特征方向，即主成分。数学上，假设我们有n维的数据集X，每个样本可以表示为向量x_i=(x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{in})。

PCA的数学模型可以分为以下几个步骤：

1. **中心化**（Mean Removal）：对每列数据减去其均值，使得数据的均值为0。
2. **协方差矩阵计算**（Covariance Matrix）：计算数据的协方差矩阵Σ，表示变量间变化的相关程度。
3. **特征值分解**（Eigenvalue Decomposition）：对协方差矩阵Σ进行对角化，得到一组特征值λ_1 ≥ λ_2 ≥ ... ≥ λ_n 和对应的正交特征向量e_1, e_2, ..., e_n，其中λ_i是e_i的伸缩因子。
4. **排序和选择主成分**：按特征值大小排序，保留最大的k个特征值（通常k远小于n），对应的特征向量就是主成分。

几何上，主成分可以看作数据点分布的主要方向。第一个主成分对应的是数据点变异最大的方向，第二个主成分是在第一个方向上剩余变异最大的方向，以此类推。通过投影到前k个主成分上，我们可以将原始高维度数据转换成低维度的新空间，同时尽可能保持原始数据的信息。