(x-1)/(x^2+x+1)^2的积分

根据引用内容，我们可以使用部分分式分解来求解该积分。具体步骤如下：
1.将分母进行因式分解：$x^2+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2)$，其中$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，$\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$。
2.将$\frac{x-1}{(x^2+x+1)^2}$表示为$\frac{A}{x-\omega}+\frac{B}{x-\omega^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}$的形式，其中A、B、C、D为待定系数。
3.将上式通分，并将分子化简，得到$1=(A+B)x^3+(2A+2B-C)x^2+(A+B+2C-D)x+(C+D)$。
4.将等式两边的系数进行比较，得到以下方程组：
$$
\begin{cases}
A+B=0 \
2A+2B-C=0 \
A+B+2C-D=0 \
C+D=1
\end{cases}
$$
5.解方程组，得到$A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{3}i}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{3}i}$，$C=\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$D=\frac{1}{2}$。
6.将$\frac{x-1}{(x^2+x+1)^2}$表示为$\frac{1}{3(x-\omega)}+\frac{1}{3(x-\omega^2)}+\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}}{(x^2+x+1)^2}$的形式。
7.对于第一项和第二项，可以使用换元法进行积分，即令$t=x-\omega$或$t=x-\omega^2$，得到：
$$
\int\frac{1}{3(x-\omega)}dx=\frac{1}{3}\ln|x-\omega|+C_1
$$
$$
\int\frac{1}{3(x-\omega^2)}dx=\frac{1}{3}\ln|x-\omega^2|+C_2
$$
8.对于第三项，可以使用部分分式分解和三角代换进行积分，具体步骤如下：
8.1 将$\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}}{(x^2+x+1)^2}$表示为$\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}$的形式，其中A、B、C、D为待定系数。
8.2 将上式通分，并将分子化简，得到$1=(A+C)x^3+(B+2C+D)x^2+(A+2B+C)x+(B+D)$。
8.3 将等式两边的系数进行比较，得到以下方程组：
$$
\begin{cases}
A+C=0 \
B+2C+D=0 \
A+2B+C=\frac{1}{2\sqrt{3}} \
B+D=0
\end{cases}
$$
8.4 解方程组，得到$A=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$B=0$，$C=\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$D=0$。
8.5 将$\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}}{(x^2+x+1)^2}$表示为$-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{2\sqrt{3}(x^2+x+1)}$的形式。
8.6 对于第一项，可以使用三角代换$x=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2}$进行积分，得到：
$$
\int-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{x}{x^2+x+1}dx=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\int\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}\tan^2\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta+\frac{3}{4}}d\theta
$$
$$
=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\int\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\tan\theta}{\tan^2\theta-\frac{2\sqrt{3}}{3}\tan\theta+1}d\theta+\frac{1}{4\sqrt{3}}\int\frac{1}{\tan^2\theta-\frac{2\sqrt{3}}{3}\tan\theta+1}d\theta
$$
$$
=-\frac{1}{4}\ln|\frac{\sqrt{3}\tan\theta-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}\tan\theta+\sqrt{3}+2}|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2})+C_3
$$
8.7 对于第二项，可以使用三角代换$x=\tan\theta$进行积分，得到：
$$
\int\frac{1}{2\sqrt{3}(x^2+x+1)}dx=\frac{1}{2\sqrt{3}}\int\frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2+(x+\frac{1}{2})^2}dx
$$
$$
=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\arctan(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}})+C_4
$$
9.将第一项、第二项和第三项的积分结果相加，得到最终结果：
$$
\int\frac{x-1}{(x^2+x+1)^2}dx=\frac{1}{3}\ln|x-\omega|+\frac{1}{3}\ln|x-\omega^2|-\frac{1}{4}\ln|\frac{\sqrt{3}\tan\theta-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}\tan\theta+\sqrt{3}+2}|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2})+\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\arctan(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}})+C
$$