矩阵 内积 计算方式

### 矩阵内积的定义

对于两个相同大小的矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其矩阵内积可以被看作是这两个矩阵对应元素相乘之后所有结果之和。如果矩阵 \( A \) 和 \( B \) 都有尺寸 \( m \times n \)，那么它们的内积表示如下：

\[
\langle A, B \rangle = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}
\]

这实际上等于先逐元素相乘再求这些乘积的总和。

### 计算示例

假设存在两个 \( 2 \times 2 \) 的矩阵 \( A \) 和 \( B \):

\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
B=
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}
\]

按照上述公式，\( A \) 和 \( B \) 的内积为:

\[
\langle A, B \rangle = (1*5)+(2*6)+(3*7)+(4*8)=5+12+21+32=70
\]

此过程展示了如何通过具体数值来实现矩阵间内积的操作[^1]。

import numpy as np

# 定义矩阵A和B
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 使用numpy库计算矩阵内积
inner_product = np.sum(A * B)

print(inner_product)