matlab悬臂梁自由振动理论解

以下是MATLAB求解悬臂梁自由振动的步骤：

1. 定义悬臂梁的参数，包括长度、密度、截面积、惯性矩等。

2. 根据二阶中心差分原理，推导出系统模型的自由振动差分方程。

3. 将差分方程转化为矩阵形式，即求解特征值问题。

4. 使用MATLAB中的eig函数求解特征值和特征向量。

5. 根据特征值和特征向量计算出悬臂梁的无量纲固有频率和振型。

以下是MATLAB代码示例：

% 定义悬臂梁的参数
L = 1; % 梁的长度
rho = 7800; % 梁的密度
A = 0.01; % 梁的截面积
I = 1e-6; % 梁的惯性矩

% 计算刚度矩阵和质量矩阵
K = [12*I/L^3, 6*I/L^2; 6*I/L^2, 4*I/L];
M = [rho*A*L/6, 0; 0, rho*A*L/420];

% 求解特征值和特征向量
[eig_vec, eig_val] = eig(K, M);

% 计算无量纲固有频率和振型
omega = sqrt(diag(eig_val));
phi = eig_vec;

% 输出结果
disp('无量纲固有频率：');
disp(omega');
disp('振型：');
disp(phi);

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matlab算悬臂梁固有频率

### 使用Matlab计算悬臂梁的固有频率

对于悬臂梁，其固有频率可以通过解析方法求解得到。对于一端固定另一端自由的梁，在特定边界条件下可以得出固有频率的表达式[^1]。

固有频率 \( f_n \) 的一般公式为：

\[ f_n = \frac{K_n}{2\pi} \sqrt{\frac{EI}{\rho A L^4}} \]

其中，
- \( K_n \) 是第 n 阶模态常数；
- \( E \) 是弹性模量；
- \( I \) 是截面惯性矩；
- \( \rho \) 是材料密度；
- \( A \) 是横截面积；
- \( L \) 是梁长度；

为了简化问题并提供具体的实现方式，下面给出一段用于计算前几阶固有频率的 Matlab 代码示例[^2]。

% 参数定义
E = 207e9; % 杨氏模量 (Pa)
I = 8.333e-6; % 截面二次轴矩 (m^4)
rho = 7850; % 密度 (kg/m³)
A = 0.05 * 0.01; % 横截面积 (m²)，假设宽度为0.05 m, 厚度为0.01 m
L = 1; % 梁长 (m)

Kn = [3.516, 22.034, 61.697]; % 各阶模态系数 Kn 对应于不同模式形状下的数值

for i=1:length(Kn)
    fn(i) = Kn(i)/(2*pi)*sqrt(E*I/(rho*A*L^4));
end

disp('各阶固有频率:');
fn'

上述程序中设定了几个常用的物理参数，并通过循环迭代来获取多个振型对应的自然振动频率。注意这里的 `Kn` 数组包含了前三阶模态所对应的比例因子，这些值来源于理论分析结果[^2]。