用MATLAB 设计一个数字巴特沃斯低通滤波器，采样频率为80kHz，使用双线性变换方法，已知4kHz时通 带最大衰减为0.5dB，20kHz时阻带最小衰减为45dB。使用buttord函数确定原型模拟滤波器 的阶次。然后使用buttap设计滤波器。

在MATLAB中设计一个数字巴特沃兹低通滤波器，你需要按照以下步骤进行：

1. **确定滤波器参数**：
- 已知条件：采样频率Fs = 80kHz，通带截止频率fc1 = 4kHz，通带最大衰减Apass = 0.5 dB；阻带截止频率fb2 = 20kHz，阻带最小衰减Abr = 45 dB。
使用`buttord`函数可以计算滤波器的最小阶数（ns），以及相应的最大滚降阶数（nb），保证在指定的频率范围内达到所需的衰减。

[ns, nb] = buttord([fc1/Fs, fb2/Fs], [Apass, Abr]);

2. **设计原型模拟滤波器**：
- 使用`butter`函数设计一个巴特沃茨滤波器的原型，`butter(ns, 'low')`会生成一个低通滤波器的设计。

[b, a] = butter(ns, [fc1/Fs, fc2/Fs], 'low');

`fc2`是一个额外的安全边界，通常取`fb2`附近的一个值，使得实际的滤波器设计更保守一些。

3. **应用双线性变换**：
- 对模拟滤波器的系数进行双线性变换，将它们从模拟域转换到离散时间域，以适应给定的采样率。

[b_d, a_d] = bilinear(b, a, Fs);

4. **检查设计结果**：
- 可以使用`freqz`函数绘制滤波器的频率响应，确认设计是否满足要求。

[h_d, w] = freqz(b_d, a_d, 1024); % 使用足够的点数进行频率响应分析
plot(w/(pi*Fs), 20*log10(abs(h_d))) % 绘制滤波器的幅度频谱图
xlabel('Normalized Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude (dB)');

% 验证滤波器在特定点的衰减
[dB_at_4kHz, dB_at_20kHz] = dbGainAtFrequencies(w, h_d, [4kHz, 20kHz], Fs);
disp(['4kHz处衰减：', num2str(dB_at_4kHz) ' dB']);
disp(['20kHz处衰减：', num2str(dB_at_20kHz) ' dB']);