其绝对值级数∑∞n=1|un|∑𝑛=1∞|𝑢𝑛|发散,而∑∞n=
时间: 2024-08-13 17:04:56 浏览: 42
对于绝对值级数 ∑∞n=1|un|,如果序列 {un} 是正数序列并且随着 n 的增加无界增长(即存在某个常数 M > 0,使得对于所有 n,都有 |un| > M),那么这个级数会发散。根据绝对收敛测试[^4],如果一个级数的绝对值序列也发散,那么原级数也是发散的。
然而,如果你问的是 "∑∞n=?" 并且想表达的是一个未完成的级数表达式,例如 ∑∞n=1|un| 或者 ∑∞n=?|un|,通常我们需要具体的 u_n 序列来判断该级数是否收敛或发散。请提供完整的级数表达式以及 u_n 的具体形式,我们才能进行进一步讨论。
相关问题
求幂级数∞∑n=1((-1)^n*x^n/n)的和函数并求级数∞∑n=1(-1)^n/n的和
第一个问题:求幂级数∞∑n=1((-1)^n*x^n/n)的和函数。
该幂级数的通项公式为:a_n = (-1)^n * x^n / n。
我们可以先求出该级数的收敛半径:
根据比值判别法:
lim┬(n→∞)〖|a_(n+1)/a_n|〗=lim┬(n→∞)|(-1)^(n+1) * x^(n+1) / (n+1) * n| / |(-1)^n * x^n / n|
= lim┬(n→∞)|(-1) * x / (n+1)| = 0
因此,该级数的收敛半径为∞,即在整个实数范围内收敛。
接下来,我们可以对该级数进行求和。由于该级数的通项公式为a_n = (-1)^n * x^n / n,我们可以写出该级数的和函数为:
f(x) = ∑┬(n=1)^(∞)〖(-1)^n * x^n / n〗
对其进行求导,得到:
f'(x) = ∑┬(n=1)^(∞)(-1)^n * x^(n-1) = ∑┬(n=0)^(∞)(-1)^n * x^n
该级数在|x|<1时收敛,因此f(x)在该区间内连续可导。我们可以对f'(x)进行求和,得到:
f'(x) = 1/(1+x)
对其进行积分,得到:
f(x) = ln(1+x) + C
由于当x=0时f(x)=0,因此我们可以解出常数C=-ln(2)。
因此,该级数的和函数为:
f(x) = ln(1+x) - ln(2)
第二个问题:求级数∞∑n=1(-1)^n/n的和。
该级数的通项公式为:a_n = (-1)^n / n。
我们可以使用莱布尼茨判别法来判断该级数的收敛性:
当n为偶数时,a_n = 1/n > 0;
当n为奇数时,a_n = -1/n < 0。
因此,该级数是一个交错级数。
由于该级数的通项公式满足单调递减和趋于零的条件,因此该级数收敛。
根据莱布尼茨判别法,该级数的和的绝对值不超过第一项的绝对值,即:
|∑┬(n=1)^(∞)(-1)^n / n| ≤ 1/1 = 1
因此,该级数的和的绝对值不超过1。又因为该级数是交错级数,因此其和的误差不超过其第一项的绝对值,即:
|∑┬(n=1)^(∞)(-1)^n / n - ln(2)| ≤ 1/1 = 1
因此,该级数的和为-ln(2)的近似值,其误差不超过1。
|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B
这个式子是矩阵的谱范数的性质,其中A和B是n阶方阵,λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明:
1. 由于A和B都是n阶方阵,它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值,μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x,有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|,根据矩阵范数的定义,有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面,对于任意向量y,有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|,因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,证毕。