matlab最小二乘法求解线性方程系数的最佳估计量

在MATLAB中，最小二乘法是一种常用的方法，用于找到一组线性方程组的系数，使得实际数据点到该直线（或超平面）的距离平方和最小。这种最佳估计方法主要用于处理含有噪声的数据。以下是使用MATLAB进行最小二乘法求解线性方程系数的基本步骤：

1. **设定线性模型**：假设有一个线性模型 \( y = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n \)，其中 \( y \) 是响应变量，\( x_i \) 是自变量，\( a_i \) 是待求的系数。

2. **准备数据**：收集一系列数据点，通常是 \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_m, y_m) \) 的形式。

3. **创建矩阵**：将自变量和常数项组合成设计矩阵 \( X \) 和向量 \( Y \)。对于单个点 \( (x_i, y_i) \)，矩阵形式是 \( X = [1, x_i, x_i^2, ..., x_i^n] \) 和 \( Y = [y_i] \)。

X = [ones(m, 1) x(:)']; % 将所有x值和1组合在一起形成设计矩阵
Y = y(:); % 向量形式的实际响应值

4. **求解系数**：使用MATLAB的 `pinv` 函数（伪逆运算）或 `lmfit` 函数求解线性最小二乘问题。由于 \( X \) 可能不是满秩的（即行数大于列数），我们需要找到 \( X'X \) 的逆或伪逆来得到系数 \( a \)。

a = inv(X'*X)*X'*Y; % 或者使用 'lmfit' 函数，如: model = fitlm(X,Y)

注意：`inv` 只适用于方阵，当 \( m > n \) 时，应使用 `pinv`。

5. **评估结果**：可以用求得的系数 \( a \) 来预测新的 \( x \) 值，并检查模型的拟合效果。

predicted_Y = a(1) + a(2:end)*x; % 预测值