在Rudin的《数学分析原理》中，证明实数集上一致连续函数必定有界的方法是什么？

在Rudin的《数学分析原理》中，实数集上一致连续函数必定有界是一个重要的定理，它说明了如果一个函数在整个实数域上都是一致连续的，那么它必定是有界的。为了证明这个定理，我们可以按照以下步骤进行：

参考资源链接：[rudin数学分析原理答案](https://wenku.csdn.net/doc/6401ac75cce7214c316ebec4?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要回顾一致连续的定义：一个函数f: R → R在实数集R上一致连续，如果对于任意的正数ε > 0，存在一个正数δ > 0，使得对于所有的x, y ∈ R，只要|x - y| < δ，就有|f(x) - f(y)| < ε。

接着，我们使用反证法来证明这个定理。假设函数f是实数集R上的一致连续函数，但它是无界的。根据无界性的假设，对于任意给定的正数M，总能找到至少一个实数x使得|f(x)| > M。由于f是一致连续的，我们可以选择一个足够小的δ，使得对于任意的x, y ∈ R且|x - y| < δ时，有|f(x) - f(y)| < 1。

然而，由于f是无界的，我们可以找到实数序列{x_n}和{y_n}，使得|f(x_n)|和|f(y_n)|都大于n。这意味着对于任意大的n，|f(x_n) - f(y_n)|至少为2n，这与我们先前关于一致连续性的推论矛盾，因为我们可以选择足够大的n，使得|x_n - y_n| < δ，同时|f(x_n) - f(y_n)| > 1。

由于我们的假设导致了矛盾，因此实数集R上的一致连续函数必定是有界的。

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