最小二乘、多项式拟合

最小二乘法是一种数学优化技术，用于寻找函数的最佳拟合参数。在多项式拟合中，我们可以使用最小二乘法来计算多项式系数，以使拟合的多项式函数最接近给定数据点。具体来说，对于给定的数据点集 $P=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，我们可以选择一个$m$阶多项式函数$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$，其中$a_0,a_1,...,a_m$是多项式系数。我们的目标是找到这些系数，使得多项式函数$f(x)$最小化与数据点的误差平方和，即$\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2$。

在Python中，我们可以使用NumPy库中的polyfit函数进行多项式拟合。该函数的语法如下：

import numpy as np

# x和y是数据点的横纵坐标，m是多项式的阶次
# 返回多项式系数
np.polyfit(x, y, m)

在C/C++中，我们可以自己编写最小二乘法的代码来进行多项式拟合。具体来说，我们可以使用矩阵运算来求解多项式系数。以下是一个C++的示例代码：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>  // 需要Eigen库支持

using namespace Eigen;

// x和y是数据点的横纵坐标，m是多项式的阶次
// 返回多项式系数
VectorXd polyfit(VectorXd x, VectorXd y, int m) {
    int n = x.size();
    MatrixXd X(n, m+1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            X(i, j) = pow(x(i), j);
        }
    }
    VectorXd Y = y;
    VectorXd w = X.colPivHouseholderQr().solve(Y);
    return w;
}

int main() {
    VectorXd x(5);
    x << 1, 2, 3, 4, 5;
    VectorXd y(5);
    y << 1, 4, 9, 16, 25;
    VectorXd w = polyfit(x, y, 2);
    std::cout << "多项式系数为：" << w.transpose() << std::endl;
    return 0;
}