几何布朗运动与期权定价：黑-斯科尔斯模型的基石

# 1. 金融数学基础**

金融数学是将数学工具和理论应用于金融领域的一门学科，旨在量化和管理金融风险。它融合了概率论、统计学、微积分和数值分析等数学知识，为金融市场参与者提供决策依据。

金融数学的基础包括：

- **概率论：**研究随机事件发生的可能性和规律，为金融模型提供随机性的基础。
- **统计学：**分析数据，从中提取有意义的信息，为金融决策提供数据支持。
- **微积分：**研究连续变化的函数，为金融模型的构建和求解提供数学工具。
- **数值分析：**解决复杂数学问题的近似方法，为金融模型的计算提供可行性。

# 2. 几何布朗运动及其性质

### 2.1 几何布朗运动的定义和特点

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion，GBM）是一种连续时间随机过程，广泛应用于金融建模中。其定义如下：

dS = μSdt + σSdW

其中：

- S 为标的资产的价格
- μ 为漂移率，表示资产预期收益率
- σ 为波动率，表示资产价格波动程度
- dW 为维纳过程，表示一个正态分布的随机增量

GBM 的特点包括：

- **连续性：**GBM 是一个连续时间过程，这意味着资产价格可以在任何时刻发生变化。
- **对数正态分布：**GBM 的对数收益服从正态分布。
- **路径依赖性：**GBM 的未来路径取决于其历史路径。

### 2.2 几何布朗运动的数学性质

#### 2.2.1 概率分布

GBM 的概率分布由以下公式给出：

P(S(t) = s) = (1 / (s√(2πσ²t))) * exp(-((ln(s/S(0)) - μt)² / (2σ²t)))

其中：

- S(0) 为初始资产价格
- t 为时间

#### 2.2.2 相关性与平稳性

GBM 的相关性由以下公式给出：

corr(S(t1), S(t2)) = exp(μ(t1 - t2) + (σ² / 2) * (t1 - t2))

其中：

- t1 和 t2 为两个时间点

GBM 是一个平稳过程，这意味着其统计特性随着时间的推移保持不变。

### 2.3 几何布朗运动的模拟

GBM 可以使用欧拉-马鲁山方法进行模拟。该方法的步骤如下：

1. 将时间间隔[0, T]划分为 n 个子间隔，每个间隔长度为 Δt = T / n。
2. 对于每个子间隔，生成一个正态分布的随机增量 dW。
3. 更新资产价格：S(t + Δt) = S(t) + μS(t)Δt + σS(t)dW

以下代码演示了 GBM 的模拟：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数
S0 = 100  # 初始资产价格
mu = 0.05  # 漂移率
sigma = 0.2  # 波动率
T = 1  # 时间范围

# 模拟时间步长
dt = 0.01

# 模拟路径数
n_paths = 100

# 模拟路径
paths = np.zeros((n_paths, int(T / dt)))

# 模拟
for i in range(n_paths):
    S = S0
    for j in range(int(T / dt)):
        dW = n