深度学习中的数学基础：Wasserstein距离解析

"这篇文档介绍了Wasserstein距离的概念，它是衡量两个分布之间距离的一种方法，常见于概率分布比较。在Python3中，可以利用相关的库计算这个距离。文档还引用了《神经网络与深度学习》这本书，强调了数学在AI领域的基础作用，包括线性代数、微积分、优化和概率论等。" 详细说明: Wasserstein距离，又称为推土机距离（Earth-Mover’s Distance，EMD），是用于比较两个概率分布之间相似度的一种度量。它基于这样的想象：将一个分布看作一堆土，另一个分布是另一堆土，Wasserstein距离就是将一堆土按照某种方式重新分布成另一堆土所需的最小工作量。这里的“工作量”指的是土的移动量乘以移动距离的p次幂，p是Wasserstein距离的参数，通常取1或2。 公式(E.17)定义了p-Wasserstein距离，其中γ(x, y)是所有可能的联合分布之一，它的边际分布分别是q1和q2。γ(x, y)代表从x位置的土堆搬运到y位置的土量。联合分布γ需要满足(E.18)和(E.19)这两个边际分布条件，即土的总量在搬运过程中保持不变。 计算Wasserstein距离时，会寻找一种最优的联合分布γ，使得所有点对(x, y)的搬运成本之和达到最小。这种优化问题可以通过线性规划或其他算法解决。图E.1展示了一个离散变量分布的Wasserstein距离实例，直观地解释了如何通过调整土堆的位置来最小化搬运成本。 在更广泛的上下文中，Wasserstein距离在机器学习和深度学习中有多种应用，比如在生成对抗网络（GANs）中评估生成样本的质量，或者在概率分布的比较中作为损失函数。此外，文档还提醒我们，深度学习依赖于数学基础，如线性代数，它是理解和构建复杂模型的基础。 线性代数是理解机器学习算法的关键，包括向量、向量空间和线性变换。向量是包含大小和方向的量，通常用黑体小写字母或希腊字母表示。向量空间是一个满足向量加法和标量乘法的集合，例如欧氏空间Rn，是n维空间，其中向量的加法和标量乘法遵循特定规则。线性子空间是向量空间的子集，保持向量空间的性质。线性无关的向量集合意味着没有任何向量可以表示为其他向量的线性组合，而基向量是一组能生成整个向量空间的线性无关向量。任何向量都可以表示为基向量的线性组合，这是线性代数中的基本定理。