数值计算B作业：三次多项式插值与最小二乘法

本大作业是数值计算B课程的一部分，主要聚焦于多项式插值和最小二乘法在气象数据拟合中的应用。题目要求学生针对气象观测站每隔10分钟收集的温度数据，使用三次多项式插值函数（Newton方法）进行逼近，并计算在特定时间点，如9点30分，的温度预测。 首先，介绍的是多项式插值的基本概念。多项式插值是通过一系列已知的数据点构建一个多项式函数，使得该函数在这些点上的函数值等于实际观测值。这里，使用的是三次多项式，意味着构建的函数形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。为了得到这个插值函数，通常会利用插值公式，如Lagrange插值或Newton插值公式，根据给出的节点数据进行计算。 然后，讨论了误差衡量的标准。误差可以按照不同的范数来度量，包括最大绝对误差、误差向量1—范数（所有误差绝对值之和）和2—范数（误差平方和的算术平方根）。最小二乘法选择2—范数作为优化目标，因为它便于微分运算，并且在拟合过程中更关注整体误差的平方和。 具体操作中，使用了Matlab编程语言的polyfit函数，它根据给定的x（时间）和y（温度）数据，自动寻找二次多项式的系数，使得拟合函数的误差平方和达到最小。在这个例子中，得到的拟合多项式为p(x) = (-0.0024x^2 + 0.2037x + 0.2305) * 10^-4。这个拟合函数将被用于估算9点30分的温度。 最后，分析和讨论部分，强调了通过最小二乘法得到的拟合效果，尤其是在数据较少的情况下，多项式插值能够提供一个简洁而有效的近似模型。对于实际应用，这样的方法有助于对未来的气温变化进行预测，或者根据历史数据调整其他气候模型。 在整个作业中，学生需要理解并运用多项式插值的理论知识，熟练掌握最小二乘法的实际操作，以及如何解释和评估拟合结果。这不仅测试了数学建模的能力，也锻炼了编程技能和数据处理技巧。