阿廷的代数几何基础讲义

"Elements of Algebraic Geometry by E.Artin" 这本笔记是由E. Artin教授在1955年春季于纽约大学所讲授的代数几何课程的记录，由G. Bachman编撰。这部分内容并不依赖于第一部分，但假设读者对现代代数的基本概念有一定的熟悉，例如可以从Van der Waerden的《现代代数》中找到这些基础知识。 在《Elements of Algebraic Geometry》中，Artin教授涵盖了代数几何的一些核心概念： 1. **Noetherian Rings**：这部分内容讨论了Noetherian环，它是代数几何中基础且重要的环论概念。Noetherian环具有有限的基理想，这个性质在研究代数簇的结构时至关重要。 2. **Introductory Concepts of Algebraic Geometry**：这里介绍了代数几何的基本概念，包括多项式方程组的解集，代数簇的定义，以及它们与多项式环之间的关系。 3. **Varieties and Generic Points**：变种是代数几何的核心对象，代表多项式方程的共同解集。这一章深入探讨了变种的概念，特别是它们的结构和一般点（generic points），这些点在变种上代表了所有非奇异点的性质。 4. **Products of Algebraic Sets**：讲述了代数集的乘积，这是理解多变量代数方程系统的关键，它允许我们将代数簇的构造扩展到多个变量的情况。 在后续章节中，Artin教授继续深入研究代数几何的高级主题： 5. **Valuation Rings, Places, and Valuations**：估值环、地方（valuations）和估值理论在代数几何中用于处理局部属性，如局部环和局部化。这些工具对于理解代数簇的局部行为极其重要。 6. **About Irreducible Varieties**：这个章节聚焦于不可约变种，这是构成更复杂变种的基本单元。Artin讨论了代数自由域、线性独立性和可分生成域，这些都是理解不可约性的重要工具。 7. **Projective Varieties**：射影簇是代数几何中的另一个重要概念，它们是包含在射影空间中的代数簇，能够解决齐次方程组的问题。射影几何提供了一种研究无穷远行为的方法，并且与经典几何有着深刻的联系。 Artin的笔记提供了对代数几何的深入洞察，适合已经有一定代数基础的读者进一步学习。每一章都包含了丰富的理论和应用，旨在帮助读者建立对这个深奥领域的理解和掌握。