二阶时滞差分方程振动性研究与推广

本文主要探讨了二阶时滞差分方程的振动性质，由作者范叶华在温州大学数学与信息科学学院进行研究。该论文聚焦于二阶时滞差分方程 \[ \begin{cases} x(n+1) - x(n) - kx(n) = f(n,x(n-h)), \quad n \in \mathbb{N}, \text{ 方程(1)} \\ x(n+1) - kx(n) = f(n,x(n)), \quad n \in \mathbb{N}, \text{ 方程(2)} \end{cases} \] 其中，\(a_n\)、\(q_n\)、\(p_n\)是非负实数序列，\(h\)是时滞，\(k\)是整数，\(f(n,x)\)定义在\(R \times C\)上。振动性是衡量解的行为特征，如果对所有正整数\(n\)，存在\(n_0\)使得\(x(n) \geq 1\)，则称解为振动；反之则为非振动。 论文的关键贡献在于提供了解决这类时滞差分方程振动性问题的若干充分条件。首先，当函数\(f\)是非减的，并且满足条件 \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n p_n m \leq \limsup_{n \to \infty} q_n \] （条件3），作者证明了所有解都具有振动性，这推广了现有文献中的相关结论。 此外，对于方程(2)，文中也给出了相应的振动性充分条件，这些新发现不仅加深了我们对二阶时滞差分方程解行为的理解，而且扩展了已知的振动性判定方法。通过对比和包含文献[1]和[2]的结果，本文的工作提供了更全面的理论框架，为时滞差分方程振动性分析的研究领域做出了有益的贡献。 总体来说，本文的重要性和价值在于它深化了对二阶时滞差分方程振动性研究的理解，为后续的理论发展和实际应用提供了重要的理论支持。