解决MPEC问题的序列束方法

"A Sequential Bundle Method for Solving a MPEC Problem - 夏尊铨, 沈洁, 李平 Pang - 凸MPEC问题，非微分凸目标函数，可分离变量，约束子问题最优解集" 这篇论文探讨的是解决一类特殊的数学规划与均衡问题（Mathematical Programming with Equilibrium Constraints，简称MPEC）的方法，具体是一种称为“序列束方法”（Sequential Bundle Method）。MPEC问题在优化领域中是一类重要的问题，它结合了数学规划与均衡条件，常用于经济、工程和决策分析等领域。 在该研究中，作者关注的是一个凸MPEC问题，其特点是目标函数是非微分的凸函数，同时约束条件涉及两个可分离的变量向量。第二个变量向量需要满足约束子问题的最优解集合。这是一个复杂的问题，因为非微分性增加了求解的难度，而约束条件的特殊结构又引入了额外的挑战。 论文提出了一种序列束方法，这种方法是通过结合两种不同的束方法（Bundle Methods）来实现的：一种是由Hintermüller在2001年提出的近似束方法，另一种则是由Brändlund, Kiwiel和Lindberg在1995年提出的下降近似水平束方法。这两种方法的结合旨在有效地处理目标函数的非微分性和约束条件的特性。 近似束方法利用一系列“束”（Bundle），这些“束”包含过去的迭代点信息，以逼近不可微分函数的梯度。这种方法可以避免直接计算梯度，而是通过历史数据的近似来推进优化过程。而下降近似水平束方法则着重于在每次迭代中确保目标函数的下降，同时处理约束条件。 序列束方法的基本思想是在每一步迭代中，首先应用Hintermüller的近似束方法来获得全局信息，然后利用Brändlund等人提出的下降方法进行局部搜索，从而逐步逼近问题的最优解。这种方法的优势在于，它既能处理非微分性，又能适应约束子问题的结构，有望在实际问题中实现有效且稳定的求解。 这篇论文为解决具有非微分目标函数和特定结构约束的凸MPEC问题提供了一个新的算法框架，对优化理论和应用研究具有重要意义。通过这种方式，研究人员和实践者可以更有效地处理那些在现实世界中遇到的复杂优化问题。