图论基础：概念、存储与经典算法详解

图论初步是一门研究图数据结构及其相关算法的学科，它在信息技术领域具有广泛的应用，尤其是在信息学竞赛中。本章将深入探讨图的基本概念和核心算法。 首先，图论的核心是图的定义，它由两个主要部分组成：顶点（或称节点）和边。一个图可以被形式化地表示为\( G=(V,E) \)，其中\( V \)是非空有限的顶点集，而\( E \)是边的集合。每条边通常用有序对表示，如\( (v, x) \)或\( <v, x> \)，其中\( v \)和\( x \)都是顶点。在图论中，无向图和有向图是基本分类，无向图的边没有方向，如图(A)所示，用圆括号表示；而有向图则有方向，如图(B)，用尖括号表示，边的起点和终点具有特定含义。 其次，图的分类根据边的方向性不同。如果边没有方向，则图是无向的；如果有方向，即存在从一个顶点指向另一个顶点的箭头，那么它是有向的。例如，在图(B)中，边<v, v>与<v, v>是两个不同的边，因为它们的起点和终点不同。 图中的顶点间的关系不仅仅是通过边相连，还可以附加权重，这个权重反映了顶点间的某种量值关系，如距离、费用、时间或电阻等。这样的图被称为带权图或网络，如图(C)所示。权重的存在使得图论问题更加复杂，但也提供了更多解决问题的可能性。 接下来，图论中的经典算法是学习的重点。包括Prim算法和Kruskal算法，用于求解最小生成树，这两者都是贪心策略，分别从一个顶点出发逐步构建树形结构，直到覆盖所有顶点。Dijkstra算法和SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm）用于求解单源最短路径问题，而Floyd-Warshall算法则可以找到任意两点之间的所有最短路径。拓扑排序算法在处理有向无环图（DAG）时特别有用，它可以确定任务的执行顺序，确保依赖关系得到满足。最后，关键路径是项目管理中的一个重要概念，它指出了决定项目完成时间最长的一系列活动序列。 掌握图的基本概念，理解图的存储方法，以及熟练运用这些算法，是图论学习的基础，对于理解和解决实际问题有着至关重要的作用。在信息技术的各个分支，从社交网络分析到网络路由优化，图论都发挥着不可忽视的作用。