线性代数作业二参考答案：地大在线课程

"这是一份关于中国地质大学(北京)《线性代数》在线作业二的标准答案，包含了多项选择题的题目和正确答案，涵盖了线性代数的基础概念，如特征值、向量组的等价性、矩阵的秩、合同矩阵、线性方程组的解的存在性和唯一性、行列式的性质以及矩阵的相似和可交换性等。" 在这些题目中，我们可以提炼出以下线性代数的知识点： 1. **特征值**：矩阵与其转置有相同的特征值，这表明特征值的性质与矩阵的形状无关，只依赖于其内部的乘法运算。 2. **线性无关向量组**：等价的两个线性无关向量组含有向量的个数相同，这是线性空间基础理论的一部分。 3. **基的概念**：(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成3维向量空间的一个基，表明这三个向量可以表示该空间内的所有向量。 4. **线性方程组的解**：AX=b有无穷多解时，意味着AX=0有非零解，这是齐次线性方程组解的性质。 5. **秩与合同矩阵**：合同的两个矩阵秩相等，合同关系保持了矩阵的秩不变。 6. **线性方程组的解的性质**：非齐次线性方程组任意两个解之差为齐次线性方程组的解，这是解的线性结构。 7. **齐次线性方程组**：若AX=0只有零解，则AX=b有唯一解，这是齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的存在性与唯一性的联系。 8. **反对称矩阵**：反对称矩阵的主对角线元素和为0，这是反对称矩阵定义的一部分。 9. **行列式与向量组的关系**：矩阵A的行列式不等于零，意味着A的行向量组线性无关，是矩阵可逆的充分条件。 10. **正交单位向量组的矩阵**：正交单位向量组构成的方阵其行列式为1，体现了正交矩阵的特性。 11. **幂等矩阵**：满足A²=A的n阶方阵，其特征值的和等于1，这是幂等矩阵的特征值性质。 12. **对称矩阵的合同**：两个对称矩阵不一定合同，合同关系对对称矩阵有特定的限制。 13. **线性方程组的解的存在性**：系数矩阵满秩的线性方程组有唯一解，这是秩与解的存在性定理。 14. **齐次线性方程组的解的线性组合**：齐次线性方程组的任意两个解的线性组合仍是解，展示了解的空间结构。 15. **行列式与矩阵的可逆性**：行列式为0的矩阵不可逆，这是行列式的基本性质。 16. **实对称矩阵的特征向量**：任意n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量，这是谱定理的一部分。 17. **可交换矩阵**：能与上三角矩阵和下三角矩阵可交换的矩阵是对角矩阵，揭示了矩阵乘法的特殊性质。 18. **相似矩阵的秩**：相似矩阵的秩相等，这是矩阵相似的不变性质。 19. **矩阵乘积的秩**：r(AB)不等于r(A)r(B)，说明矩阵乘积的秩与单个矩阵的秩的关系并不简单。 20. **零矩阵乘积**：AB=0不一定有A=0或B=0，这涉及到零因子问题，可能A和B都是非零矩阵但它们的乘积是零矩阵。 21. **不可逆矩阵的行向量**：如果方阵A不可逆，那么它的任意一行向量不能被其他行向量线性表出，这是矩阵不可逆的另一种表述。 以上知识点涵盖了线性代数的基本理论，包括矩阵的性质、向量组的性质、线性方程组的解、特征值和特征向量、矩阵的相似和合同等核心概念。学习这些内容对于理解和应用线性代数至关重要。