图论算法详解：连通图与深度优先搜索

"图论算法理论、实现及应用" 在图论中，连通图和深度优先搜索树（DFS Tree）是关键概念，特别是在分析和解决网络连接性问题时。连通图指的是图中任意两个顶点都存在路径相连的图。无向图的点连通性是指图中是否存在多于一个的连通分量，即去除某个顶点后会形成多个无法互相到达的子图。 8.2.1章节中，描述了判断关节点（Cut Vertex）的方法。关节点是这样的顶点，当它被移除后，原本连通的图会变成不连通的状态，也就是说，它起到了连接不同连通分量的作用。一种朴素的求解方法是通过遍历所有顶点，每次移除一个顶点并检查剩余顶点的连通性，但这效率较低，时间复杂度为O(n^3)。在实际操作中，我们可以通过深度优先搜索（DFS）在访问到顶点时直接跳过，避免实际移除顶点，以此来简化算法。 Tarjan算法是一种更高效的求解关节点的算法，它只需要从图中的任意一个顶点出发进行一次DFS遍历即可找到所有关节点，时间复杂度降低到O(n^2)。在算法执行过程中，记录每个顶点的深度优先搜索次序（DFN）以辅助判断。深度优先搜索树是在DFS过程中形成的，其中的顶点访问次序反映了它们的搜索顺序，树中的边则表示了搜索路径。 图8.8展示了无向图的DFS过程，实线表示搜索前进，虚线表示回溯。在DFS树中，如果顶点u是顶点v的祖先，那么DFN[u]小于DFN[v]，意味着u先于v被访问。图中的边可以分为生成树边和其他边，生成树边是DFS搜索路径的一部分，而其他边则不属于生成树。 图论算法理论不仅涵盖这些基础概念，还包括图的遍历（如广度优先搜索BFS和深度优先搜索DFS）、树与生成树问题、最短路径问题、网络流问题、点支配集、点覆盖集、点独立集、边覆盖集、边独立集（匹配）以及图的连通性问题等。在ACM/ICPC等算法竞赛中，图论算法是常见的考察点，因此理解并掌握这些理论和实现至关重要。 这本书《图论算法理论、实现及应用》由王桂平、王衍、任嘉辰编著，详细介绍了图论的基础知识、算法思想和程序实现，适用于计算机及相关专业的图论课程教学，也可作为算法竞赛的参考资料。通过学习本书，读者不仅可以掌握图论的基本概念，还能提高解决实际问题的能力。