运筹学5单纯形法详解：二阶段求解过程

"运筹学5单纯形法的二阶段法求解线性规划问题" 运筹学中的线性规划问题通常使用单纯形法来解决，而二阶段法是一种处理有界或无界解的特殊线性规划问题的方法，特别是在存在人工变量的情况下。以下是二阶段法的详细解释： 1. 第一阶段：建立初始可行解 第一阶段的目标是通过迭代消除人工变量，以找到一个没有人工变量的基本可行解。在存在人工变量的线性规划问题中，这些变量是为了确保问题有可行解而引入的。基础解是指满足所有约束的解，其中只有部分变量是非零的，这些非零变量被称为基变量，其余变量为零，称为非基变量。 2. 第二阶段：求解原问题 在第一阶段得到一个基础可行解后，这个解将作为第二阶段的初始解。在第二阶段，我们使用原单纯形法继续迭代，逐步优化目标函数，直到找到最优解。原单纯形法是一种行迭代算法，它通过在当前基本解的基础上交换非基变量和基变量来改进目标函数值，直至达到最优。 3. 决策规则与无解情况 如果第一阶段结束后，人工变量仍然存在于基变量中，这意味着原问题没有可行解。因为人工变量的存在通常是为了构造一个初始的可行区域，如果无法消除它们，表示原问题的约束条件无法同时满足，问题无解或者不定义。 4. 价值系数的重新定义 为了简化计算，第一阶段可能需要重新定义某些变量的价值系数，这可能是为了确保在消除人工变量的过程中，解的可行性得以维持。这样的调整对于确保问题在第一阶段能够得出有效的基础解至关重要。 线性规划问题的解可以分为基本解和非基本解。基本解是满足所有约束的解，由基变量构成，非基本解则是对应于非基变量为零的解。线性规划问题的最优解必须是一个基本解，并且满足KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件），即满足约束、目标函数梯度和拉格朗日乘子的关系。 总结来说，二阶段法是处理包含人工变量的线性规划问题的有效策略，通过两步迭代过程找到问题的可行解和最优解。第一阶段建立初始的可行解，第二阶段利用这个解作为起点寻找最优解。这种方法在实际应用中，尤其是在复杂的运筹学问题中，有着广泛的应用。