Polya计数理论详解：例题解答与等价类探讨

Polya技术理论习题解答是一系列关于组合数学的问题集，主要涉及的是对数学问题的解决策略和理论的应用。本资源聚焦于以下几个关键知识点： 1. 第五章 Pólya计数理论 - 第一个问题要求计算给定的置换序列的共轭类。在Sn中，有5个不同的元素，总共有|Sn|=5。通过分析序列，如（5）（12）（34）的置换类型为1122，其共轭类包括多个不同排列，共计12个元素，按照Pólya理论，这些排列遵循特定的规则。 2. 等价类的定义与计数 - 当两个D的子集A和B满足存在某个置换使它们在G的作用下相等时，称它们为等价的。使用Burnside引理来计算等价类的个数，根据元素在不同置换下的保持数量和改变数量，计算出诱导出的等价类总数。 3. 相等数字的计数问题 - 题目涉及n位数的相等性，即当数字反转后仍然相同。通过构造置换群G，包括不动点置换g1（1n）和一个特定的循环置换g2，根据n的奇偶性，讨论了不同情况下符合条件的数字对的数量，并计算总的不相等数字对的数量。 4. 多人访问城市的组合问题 - 在这个实际问题中，8个人被分为3个家庭和2个单独的人，每个家庭必须在同一城市。通过定义集合D和置换群，计算出满足条件的不同访问方案的模式。具体来说，奇偶性不同的n值对应不同的计数结果。 这些习题旨在帮助学习者通过解决实际问题，加深对组合数学、置换群以及Pólya计数理论的理解，提升解决问题的能力。通过这些题目，学生不仅可以掌握理论知识，还能将其应用于实际情境，增强对抽象概念的直观感受。