EM算法详解：简化问题与极大似然估计应用

"本次讲解聚焦在『简化的原问题-EM算法』，该主题主要探讨了在统计学和机器学习领域中用于处理带有隐含变量问题的一种优化方法。EM算法，全称Expectation-Maximization，是一种迭代算法，特别适用于那些难以直接求解最大似然估计的问题。 首先，我们来对比EM算法与K-means聚类算法。K-means算法简单直观，它将数据划分为固定数量的簇，每个簇有一个中心，然后不断更新簇中心直到收敛。而EM算法假设数据由K个未知分布产生，每个观测值可能来源于其中的一个分布，但具体分配未知。K-means侧重于数据点的硬分类，而EM则处理的是软分类，每个观测值同时关联多个潜在分布。 问题的核心在于，给定一个样本集D，我们知道是由K个未知概率模型生成的，目标是找到这些模型的参数，使得数据集D被这K个模型产生的概率最大化。这个问题可以通过极大似然估计的思想来解决，即寻找使得样本数据出现概率最大的参数值。极大似然估计的思想基于实际发生的事件，认为其对应的概率应该达到最大。 在EM算法的框架下，步骤如下： 1. 初始化：随机设置每个数据点归属于K个分布中的概率（E步，期望步）。 2. 更新参数：根据当前的分配，计算每个分布参数使得数据集D的似然函数最大（M步，最大化步）。 3. 重复步骤1和2，直至算法收敛或达到预设迭代次数。 公式（1）和（2）展示了EM算法的具体计算过程。公式（1）描述了每个观测值Xi被分配给第j个分布的概率，而公式（2）则表示了整个数据集D的似然函数，通过对参数θ求偏导并使其等于0来求得极大似例估计。 EM算法是一种强大的工具，它在诸如混合高斯模型、 Hidden Markov Model（HMM）等复杂问题中发挥着重要作用，通过迭代地估计隐藏变量的期望和参数，逐步提高模型对数据的拟合度。通过理解EM算法的工作原理和步骤，我们可以更好地应用它来解决实际问题，提升数据分析和模型构建的效率。"