多重因子分析MFA：多表数据的主成分分析

"多重因子分析(MFA)是一种用于处理多表格或多块数据集的主成分分析(PCA)扩展方法，特别适用于测量相同观测值上一组变量的数据表，或者在独立MFA中，针对不同观测集测量相同变量的多个数据表。MFA包括两个步骤：首先对每个数据表进行PCA并对其进行标准化，即除以各自PCA得到的第一个奇异值；其次，将所有标准化的数据表聚合到一个大的数据表中，然后通过非标准化的PCA分析，得出观测值的因子得分和变量的载荷。此外，MFA还为每个数据表提供了反映该数据表特定“视角”的部分因子得分。有趣的是，公共因子得分可以通过替换原始的正常化的部分因子得分来获得。" 多重因子分析(MFA)是一种统计方法，它结合了主成分分析的优势，同时处理多个相关的数据表。这种方法主要应用于多源数据整合分析，例如，在社会科学、市场研究或生物信息学等领域，我们可能需要分析来自不同来源或不同时间点的多个数据集。MFA的主要目标是识别不同数据表中的共同模式和结构，并提供一个统一的框架来解释这些数据。 在MFA的第一步，对每个单独的数据表执行主成分分析。PCA是一种降维技术，它通过找到数据变异的主要方向（主成分）来压缩数据，从而减少数据的复杂性。PCA的结果是得到一组新的正交变量（因子），它们是原始变量的线性组合，且保留了大部分的方差信息。 接着，通过除以各自PCA的第一奇异值，对每个数据表进行标准化，这一步骤确保了不同数据表之间的可比性，因为PCA的第一奇异值反映了数据表的总变异量。 第二步，将所有标准化的数据表合并成一个“大”数据表，然后应用非标准化的PCA。这一步分析产生的因子得分反映了观测值在整体数据结构中的位置，而载荷则表示变量如何与这些因子相关联。 MFA的一个关键特性是部分因子得分，这部分得分反映了每个数据表特定的观察视角。例如，如果一个数据表关注的是消费者行为，另一个关注的是产品特性，那么部分因子得分将分别突出显示这两个方面的关系。 最后，MFA还可以帮助识别那些在所有数据表中都显著的共同模式，即公共因子得分。这些得分可以帮助研究者理解那些在所有数据集中都起作用的关键因素，对于解释和综合多个数据集的信息非常有价值。 多重因子分析提供了一种强大的工具，用于处理和解析复杂的多源数据，使得研究人员能够从多个角度理解和解释数据，并从中发现隐藏的结构和模式。这种分析方法在处理跨学科、跨领域的大型数据集时尤其有用。