泛函不等式推广与应用：紧半群与超Poincaré理论

本文主要探讨了大数据背景下算法中的泛函不等式的推广及其在实际问题中的应用。论文分为四章，首先在第一章中，作者将经典的超Poincaré不等式扩展到了测度空间上的偶数阶If(p)空间，提出了紧半群的新条件和扰动理论，这一成果超越了在L²空间上的已有结论。这个推广不仅深化了对数学结构的理解，也为后续章节奠定了基础。 第二章聚焦于更广泛的指数范围1<p<cx，对超Poincaré不等式进行了深入研究。作者在这里探讨了半群的半紧性和紧性，并给出了确保不等式成立的充分条件。通过这些理论，作者成功地应用于黎曼流形上的非对称扩散算子的谱理论，验证并改进了文献［18］的核心结果。 第三章引入了G. Lumer提出的半内积概念，将泛函不等式拓展到了Banach空间的框架下，这不仅包含了Hilbert空间中关于超Poincaré不等式的拓展，还涵盖了弱Poincaré不等式的研究。这种扩展展示了泛函不等式在更广泛数学结构中的通用性。 最后，第四章关注了正定自伴算子的超Poincaré不等式与分数幂运算的关系。当算子满足超Poincaré不等式时，其分数幂也同样遵循这一规律。这不仅揭示了算子性质的传递性，还探讨了由此产生的半群在超有界性方面的相互联系。 这篇论文是大数据领域算法理论的重要贡献，它不仅提升了泛函不等式理论的广度，还提供了实际问题如黎曼流形上的计算工具，并且推动了算子理论与超有界性之间的交叉研究。这些研究成果对于理解复杂系统中的数据处理过程，以及优化算法设计具有重要的理论价值。