球坐标系下轴对称Stokes流动的经典解法：N-S方程的简化与分离变量应用

本文主要探讨了轴对称的不可压缩Stokes流动问题在球坐标系下的古典解。首先，论文基于笛卡尔坐标系下的Navier-Stokes方程，这是一个描述粘性流体动量守恒的基本运动方程，其在流体力学中占据核心地位。该方程组通常表示为： \[ \begin{cases} (\nabla \cdot u)V + \frac{1}{\rho} \nabla p = \mu \Delta u \\ \nabla \cdot u = 0 \end{cases} \] 其中，$u$ 代表速度场，$p$ 是压力，$\mu$ 是流体的粘度，$\rho$ 是密度，$\Delta$ 是拉普拉斯算子。然而，由于Navier-Stokes方程的非线性特性，寻找一般解仍然是一项挑战，尽管对于特定的简单流体流动情况，可以得到经典的解。 论文作者葛玉丽利用直接微分方法将Navier-Stokes方程转换到球坐标系$(r, \theta, \phi)$下，构建了完整的方程表示。在轴对称情况下，考虑到流体的不可压缩性（即$\rho$视为常数），惯性力项可以被忽略，从而简化了方程组。通过分离变量法，论文针对球坐标下的Stokes流动问题，即低雷诺数（Reynolds number）下的流体运动，找到了这些方程的古典解。 具体步骤包括： 1. 将笛卡尔坐标系下的Navier-Stokes方程转换为球坐标系的形式。 2. 简化方程组，去除惯性力项，因为对于Stokes流体，惯性效应相对较小。 3. 应用轴对称性，使得方程只依赖于$r$ 和 $\theta$ 或者是更简单的变量组合。 4. 结合具体的边界条件，使用分离变量法来分解方程，这通常意味着假设解可以写作两个独立函数的乘积，一个仅依赖$r$，另一个依赖于$\theta$。 5. 最终，通过求解分离后的偏微分方程，获得了Stokes流动问题在球坐标系下的轴对称古典解。 这个研究不仅提供了求解这类流动问题的具体方法，而且展示了如何将复杂的笛卡尔坐标方程转化为适合特定问题特性的球坐标表达，这对于理解粘性流体的轴对称行为以及在实际工程和科学应用中的计算模拟具有重要意义。