智能汽车轨迹跟踪：线性二次调节器(LQR)法解析

"本课程是智能汽车路径规划与轨迹跟踪的系列讲座，主要讲解线性二次调节器（LQR）法在Matlab环境中的应用。课程由Ally于2021/3/22创建。LQR法用于解决多目标优化的轨迹跟踪控制问题，目标是使跟踪偏差快速稳定地接近零，同时控制输入尽可能小。" 线性二次调节器（LQR）法是一种广泛应用的最优控制理论，主要用于设计控制器，使得系统的性能指标（如跟踪误差和控制输入的能量）达到最优。在智能汽车路径规划和轨迹跟踪中，LQR法能有效地计算出车辆应如何调整其运动来最小化与预设轨迹的偏差。 在LQR问题中，关键在于建立系统的离散状态空间方程。例如，对于一个四轮车辆的运动学模型，状态变量可能包括位置、速度和角度等，而控制输入可能是前轮转角。系统动态可以用线性状态转移矩阵A和输入矩阵B来描述，其中A描述了系统无控制输入时的状态变化，B描述了控制输入如何影响状态变化。 LQR的目标函数是跟踪偏差和控制输入的加权和，即一个二次型函数。Q矩阵表示状态加权，通常取为对角阵，较大的元素意味着更重视对应状态的快速收敛。R矩阵同样是对角的，表示控制输入的加权，较大的元素意味着希望控制输入更小。通过优化这个目标函数，可以找到最优的控制输入序列。 求解LQR问题通常涉及求解黎卡提方程，得到的P矩阵是该方程的解，它定义了状态之间的权重。最优控制律u是状态X的线性函数，具体形式为u = -KX，其中K是根据P和系统矩阵计算出的反馈增益矩阵。 在Matlab中实现LQR控制通常包括以下步骤： 1. 定义系统状态转移矩阵A和输入矩阵B。 2. 设定Q和R矩阵，根据性能需求调整其元素。 3. 解黎卡提方程，得到P矩阵。 4. 计算反馈增益矩阵K。 5. 在实时运行中，根据当前状态X和K矩阵计算控制输入u。 通过这种方式，LQR法为智能汽车提供了优化的轨迹跟踪控制策略，确保了车辆在尽可能减少控制输入的同时，能精确地跟踪预定路径。在实际应用中，LQR法还可以与其他算法结合，如预测控制或滑模控制，以提高控制性能并适应复杂的环境变化。