数字信号处理基础：递推解法与离散系统分析

"递推解法-高西全-丁玉美-数字信号处理课件(第三版)" 在数字信号处理领域，递推解法是一种重要的分析和设计离散时间系统的技术。该课件由高西全和丁玉美编著，主要针对《数字信号处理》的第三版内容进行讲解。在描述中提到的例10是一个关于因果系统的典型问题，它通过差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)来描述系统动态，其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列，a是系统参数。当输入是单位阶跃信号x(n)=δ(n)，且初始条件y(-1)=0时，需要求解输出序列y(n)。 数字信号处理主要处理的是数字信号，这是相对于模拟信号而言的，它利用数值计算的方法对信号进行各种操作，如滤波、变换、压缩等。数字信号处理具有以下特点：灵活性，可以方便地改变处理算法；高精度和高稳定性，因为计算过程不受温度、噪声等因素的影响；便于大规模集成，易于在微电子芯片上实现；以及能实现模拟系统难以实现的复杂功能。 课程涵盖的第1章是时域离散信号和时域离散系统的基础知识。首先，我们需要了解信号的基本概念，信号是携带信息并随时间变化的物理量或现象。根据时间和表现形式，信号可以分为时域连续信号、模拟信号、时域离散信号和数字信号。系统也可以相应地分为时域连续系统、模拟系统、时域离散系统和数字系统。 在时域离散信号中，单位阶跃信号是一个重要的基础信号，其定义为在n=0时刻从0突然跳变到1的信号。延时的单位阶跃信号则是原信号在时间轴上向右平移。单位冲激信号，也称为狄拉克δ函数，是一个特殊的数学工具，在物理学和工程学中有广泛应用。尽管在任何位置的值都是0，但在n=0时刻的值却是无穷大，且在整个区间内的积分面积为1。延时的单位冲激信号可以通过将原冲激信号向右平移得到。 冲激信号有若干关键性质，包括抽样性、奇偶性、比例性和卷积性质。抽样性表明，冲激函数可以看作是所有函数的抽样器，通过与函数的乘积可以在傅里叶域中提取特定频率成分。奇偶性是指冲激函数在时间反转时保持不变。比例性则意味着冲激函数可以被缩放而保持其性质。卷积性质是冲激函数的一个核心特性，它在信号处理中用于计算两个函数的相互作用。 递推解法在解决离散时间系统的动态行为问题时非常有用，特别是在处理输入序列和系统状态之间存在线性关系的情况。例如，在上述例10中，通过递推方式，我们可以逐步计算出每个时间点的输出序列y(n)，直到得出完整的y(n)序列。这种递推过程通常涉及到迭代，先确定初始条件，然后根据差分方程计算后续的输出值。在实际应用中，递推解法常用于实时信号处理，因为它计算效率高，且不需要存储大量的中间结果。