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首页剩余倍分法:一种新的同余式解法
“剩余倍分法化约非两两互素.pdf” 本文主要探讨了剩余倍分法在处理非两两互素的同余式问题上的应用,这是一种与传统辗转相除法不同的理论新概念。作者张景刚指出,在研究“孙子问题”和同余式时,如果将同余式中的两个量a和b置于对称位置考虑,可以发现它们之间存在一种“相对乘数”的对称关系。这种关系为解决非两两互素的同余式问题提供了新的思路。 “中国剩余定理”(也称为“孙子定理”)在现代科技中有着广泛的应用,尤其是在计算机算法、数值分析等领域。然而,传统的辗转相除法在求解非互素的同余式或联立同余式组时存在局限性,解题过程较为复杂。剩余倍分法则是针对这一问题提出的一种新方法,其核心在于“倍分式”。这种方法利用简单的移位法和基本算术运算,能够统一处理正反相对乘数和倍数,尽管计算量可能稍大,但每一步都有明确的算法意义,并具备自我检验和同步纠错功能,能区分乘数的正反性质。 文章中通过一个实例展示了剩余倍分法如何化简含公因数的非两两互素同余式。以模数a=16和b=12为例,这两个数有公因数4。选取一个数89作为Z,通过辗转相除找到最小公倍数和余数序列,然后利用这些信息构造出满足条件的解。在这个过程中,剩余倍分法简化了计算步骤,使问题的解决更为直观和高效。 剩余倍分法不仅扩展了“孙子定理”的应用范围,而且提供了一种通用的解题策略,尤其对于处理非互素情况下的同余式问题,它展现出了独特的优势和实用性。这种方法对于深入理解和应用数论中的中国剩余定理,以及优化相关领域的算法设计具有重要意义。
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1
剩余倍分法之非两两互素
张景刚
长治市数学经济研究会 山西长治
zhangyi828282@126.com
摘 要:本文分析研究“孙子问题”和同余式
)(mod1 bax
时,将同余式中
abba
ff
,,
,
的两
个量,放在同等对称的地位考虑,由此发现“相对乘数”
abbfaf
abba
1
,,
之间是一种相
互对称关系的理论新概念。在此基础上获得的新方法,有别于通常算法。
关键词:中国剩余定理;剩余倍分法;辗转相除法;一次同余式组;二元
n
次不定方程;
1 引 言
我们知道,“孙子定理”国际上称“中国剩余定理”,在现代科学技术发展中具有实际
的应用价值,如它在计算机算法、数值分析、计算机设计、密码设计、最优 HASH 函数设计、
数据库保密、以及环论、域论等许多领域中都有广泛应用。然而求解一个未知同余式、联立
同余式组,二元一次不定方程,通常应用辗转相除法“孙子定理”,是《初等数论》教材里
介绍的主要方法,已成为解决此类问题的主要模式。但“孙子定理”辗转相除法,求解同余
式、同余式组、二元一次不定方程并不完善,且解法较为复杂。剩余倍分法给出方法及其中
关键“倍分式”,应用简单的移位法和四则运算,将 a,b 两两互素求解正、反相对乘数(用
数)、正、反相对倍数(乘率)统一起来进行,虽然计算量稍微偏大,但它每一步的运算都有
着实际的算法含义和自我检验同步纠错功能,且可甄别乘数正、反性质。是充实强化拓展“孙
子定理”的新方法,是“剩余倍分法”的核心计算工具,可以作为一个普遍适用的一般解法。
2 化约含公因数非两两互素的同余式(欧拉解法)
取有公因数 4 的两个模
a
=16,
b
=12,即有
48, baba
,再任取一数 89 作为 Z,
5127916589
;
.45,5,9 pqp
把
ba,
辗转相除,取余数序列
1216
余 4,令
4c
,检查知,余数序列第一项
c
就是整数
=4 因此,括号中取两项
bcab
abqZ
11
7412165
412
1
1216
1
,
ba,
最小公倍数是 48,
48×2-7=89,正是原来所设
Z.
此法需要考察
=4 的整除,说明注意到同余式组的可解条件
[1]
。
剩余倍分法解式二解以上例题:
设
5,9 yx
,
即
1
521
961
y
x
N
,化约非两两互素后
1
53
94
y
x
N
,倍分式计算乘数,
计算式
51229
34
99-534
3
)(
)(
N
,
余 5 不符合题意,需要把其乘积扩大 7 倍即:
N
=12×7+5=89;
712)589(516)989( yx ;
。
验证:把
yx,
代人方程
1
5712
9516
N
通过化约获解,同时没有出现负数解,证毕。
3 化约解《数书九章》积尺寻源 (以下用数字实例简化叙述)
用现代语言描述
[2-3]
:铺砌地基一段,将四种砖:大方砖,小方砖,六门砖,城砖交付
泥水匠随便使用,但限定用一种砖铺砌,或平放,或侧放,要求正好砌齐。匠人用砖量地记
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