同济大学《线性代数》课后习题解析

"同济大学《线性代数》课后习题答案" 这篇资源提供了同济大学线性代数课程的课后习题参考解答，由黄正华教授编写，适用于学习者自我检验或深入理解课程内容。解答覆盖了教材的多个章节，包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性以及相似矩阵及二次型。特别强调了部分习题的重要性，如第一章的5.(2)、(5)和7题，以及8.(2)等，并鼓励读者在遇到困难时参考答案，但同时也提醒不要盲目依赖，要积极思考和探索。 以下是各个章节习题的部分详细解答： 1. 行列式：行列式的计算是线性代数的基础，资源中给出了三阶行列式的计算方法。例如，对于一个三阶行列式，可以利用对角线法则来计算。具体解答中展示了如何将行列式展开并计算出结果。例如，对于给定的行列式，通过行列式的性质和运算法则，可以化简并求得其值。 2. 矩阵及其运算：矩阵的运算包括加法、减法、标量乘法以及乘法。资源中提到了矩阵的特殊形式，比如对角矩阵，以及它们在行列式计算中的应用。矩阵乘法的非交换性、结合律和分配律也是重要的概念。 3. 矩阵的初等变换与线性方程组：这部分内容涉及到如何通过行变换解决线性方程组，包括单位元替换、行倍加和行倍乘。初等变换可以帮助简化系数矩阵，从而找到线性方程组的解。 4. 向量组的线性相关性：向量组的线性相关性是线性代数中的核心概念之一，它决定了向量空间的结构。通过线性组合和秩的概念，可以判断一组向量是否线性相关或线性无关。 5. 相似矩阵及二次型：相似矩阵的性质和判定方法，以及二次型的标准化过程（如合同变换）是这部分的关键。通过这些工具，可以对实对称矩阵进行分类，理解谱定理，以及研究二次型的几何意义。 此外，资源还鼓励读者在发现更好的解题方法时与他人分享，以促进共同学习和进步。逆序数的概念在排列论中是重要的，通常用于计算排列的奇偶性，这在计数问题和组合优化中有着广泛的应用。 通过这些习题解答，学生不仅可以检查自己的理解和计算能力，还能加深对线性代数基本概念和定理的理解。同时，这种自我学习和反思的过程有助于培养独立解决问题的能力，是提高线性代数技能的有效途径。