距离位势下非线性椭圆方程解的临界点理论分析

"这篇论文主要探讨了含距离位势的半线性椭圆方程解的存在性，作者是陈霞和陈志辉，属于首发论文，涉及领域包括距离位势、Hardy不等式和临界点理论。" 在数学领域，特别是偏微分方程的研究中，本文关注的是含距离位势的二阶椭圆方程。距离位势是指与边界距离相关的势能，它是分析非线性椭圆方程解的重要工具。Hardy不等式是这个问题的基础，它表明在有界凸区域Ω中的函数u满足一定的积分不等式，这个不等式在处理涉及距离位势的问题时起到关键作用。 论文首先引入了特征值问题，涉及算子−∆µ，这是一个考虑了距离位势的椭圆算子。定义1.1阐述了该算子的特征值和特征函数的概念，其中λ是特征值，u是对应的特征函数。当一个函数u在满足特定边界条件的同时，能够使得算子作用下的内积等于λ乘以其自身的L^2内积，那么λ就是一个特征值。 接下来，作者运用临界点理论来研究半线性椭圆方程(1.3)的解。这个方程包含非线性项f(x,u)，并且在边界上强制要求u为0。临界点理论是泛函分析中的一个重要分支，它通过寻找泛函的临界点来确定偏微分方程解的存在性。在本文中，这一理论被用来证明即使在存在距离位势的情况下，方程(1.3)也有多重非平凡解。 论文还讨论了H1_0(Ω)空间中的内积和范数，通过Hardy不等式和Poincaré不等式，可以定义一个新的等价范数，这有助于构建相应的希尔伯特空间，并为后续的分析提供基础。 这篇论文深入研究了含距离位势的非线性椭圆方程，利用Hardy不等式和临界点理论，为这类问题的解的存在性提供了理论支持，对于理解和解决相关问题具有重要意义。