MATLAB编程解决立方倍积与定积分问题:误差分析与递推算法
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更新于2024-11-05
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在数值分析的上机实习题目中,我们遇到了两个有趣的数学问题,以及对应的MATLAB程序实现。
第一个问题是古希腊几何三大难题之一的“立方倍积”问题。该问题的目标是找到一个体积为已知立方体V0=1体积的两倍的新立方体。为了解决这个问题,我们假设新立方体的高度为h,且h是无理数,无法精确表示为分数或有限小数。通过数值试验,我们可以观察到随着位数的增加,MATLAB中的长型数据格式(`formatlong`)能更精确地逼近h的值。例如,当保留n位小数时,h的近似值分别为1.2、1.25、1.25992104860等,这些值逐渐逼近准确值1.25992105。程序`ex1.m`通过递推计算出V的近似值,每次调整b和d的值来逼近目标立方体的体积。
第二个问题涉及利用递推公式计算定积分,具体来说是当x在区间[0,1]时,函数In的值,其中In满足性质(1)~(3)。性质(1)表明In是单调递减的有界序列,性质(2)保证了序列的收敛性,而性质(3)提供了递推关系。初值I0可以通过直接积分得到,即I0=1-e^-1。对于这个问题,我们有顺向递推算法和逆向递推算法,用于计算In在n=0到20的近似值。表格显示了从n=1到n=13时,Sn(积分的近似值)逐渐减小,显示出序列的收敛趋势。
这两个例子展示了数值分析在实际问题中的应用,不仅涉及数学理论,还有编程技能的运用。通过MATLAB这样的工具,我们可以进行数值计算和精度控制,验证数学问题的解决方案,并理解序列的收敛特性。这对于理解和掌握数值分析方法以及编程解决实际问题非常有帮助。
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zhu32125
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