MATLAB编程解决立方倍积与定积分问题：误差分析与递推算法

在数值分析的上机实习题目中，我们遇到了两个有趣的数学问题，以及对应的MATLAB程序实现。 第一个问题是古希腊几何三大难题之一的“立方倍积”问题。该问题的目标是找到一个体积为已知立方体V0=1体积的两倍的新立方体。为了解决这个问题，我们假设新立方体的高度为h，且h是无理数，无法精确表示为分数或有限小数。通过数值试验，我们可以观察到随着位数的增加，MATLAB中的长型数据格式（`formatlong`）能更精确地逼近h的值。例如，当保留n位小数时，h的近似值分别为1.2、1.25、1.25992104860等，这些值逐渐逼近准确值1.25992105。程序`ex1.m`通过递推计算出V的近似值，每次调整b和d的值来逼近目标立方体的体积。 第二个问题涉及利用递推公式计算定积分，具体来说是当x在区间[0，1]时，函数In的值，其中In满足性质（1）~（3）。性质（1）表明In是单调递减的有界序列，性质（2）保证了序列的收敛性，而性质（3）提供了递推关系。初值I0可以通过直接积分得到，即I0=1-e^-1。对于这个问题，我们有顺向递推算法和逆向递推算法，用于计算In在n=0到20的近似值。表格显示了从n=1到n=13时，Sn（积分的近似值）逐渐减小，显示出序列的收敛趋势。 这两个例子展示了数值分析在实际问题中的应用，不仅涉及数学理论，还有编程技能的运用。通过MATLAB这样的工具，我们可以进行数值计算和精度控制，验证数学问题的解决方案，并理解序列的收敛特性。这对于理解和掌握数值分析方法以及编程解决实际问题非常有帮助。