数学基础：可数集与不可数集的概念解析

"这篇文档是关于数学中的可数集与不可数集的讲解，结合了泛函分析的基础概念，主要来源于西安电子科技大学理学院杨有龙的《应用泛函分析原理》。文中介绍了集合的对等关系、基数、可列集合和连续势的概念，并通过例子阐述了无限集与有限集的区别。" 在数学中，可数集与不可数集是集合论中的重要概念。可数集是那些与自然数集N对等的集合，意味着可以找到一种方式将集合的元素与自然数一一对应。这种对应关系称为一一映射，满足自反性、对称性和传递性，这些性质构成了等价关系。例如，整数集、有理数集是可数集，因为它们可以通过特定规则与自然数集建立一一映射。 不可数集则与自然数集无法建立一一映射，如实数集R就是一个典型的不可数集。不可数集的基数大于可数集，即使某些无限集可以与它们的真子集等势，如在例1.2中，自然数集N、偶数集A和正分数集B尽管都是无限集，但它们之间可以建立一一映射，因此它们等势，都是可数集。 有限集与无限集的性质有显著差异。对于有限集，其基数是它所含元素的数目，而无限集的基数则不能简单地用元素的数目来描述。在无限集中，一个集合可能与其真子集等势，比如上面提到的N、A和B。然而，有限集不能与其真子集建立一一对应关系，所以它们的基数不同。 定义1.6中，可列集合（或可数集）的势记作ℵ₀，它代表了所有可数集的共同基数。相反，实数集R的基数被称为连续势，它大于ℵ₀，表明实数集的元素数量比自然数集多得多，这是无限集的一个典型特征。 在集合运算方面，如交集、并集、差集和余集，是集合论和泛函分析中的基本操作。这些运算遵循一定的定律，如分配律和De Morgan公式。分配律表明集合的并或交与另一集合的交或并可以交换顺序，而De Morgan公式则描述了集合补集的运算规则，即一个集合的补集的并集等于其各元素补集的交集，反之亦然。 这个文档深入浅出地介绍了集合论中的基础概念，为理解泛函分析中更复杂的理论提供了坚实的基础。