三次NURBS曲线曲面的矩阵求导计算

"这篇论文详细介绍了在计算机辅助几何设计（CAGD）中，如何对三次NURBS（Non-uniform Rational B-spline）曲线和曲面进行矩阵形式的求导计算，旨在提供一种实用且计算量较小的方法。文中特别强调了在MATLAB环境下，这种矩阵运算方法的优势。" NURBS曲线是CAGD领域广泛使用的表示工具，因为它能够精确地描述各种几何形状，包括解析曲线和自由曲线。NURBS曲线由非均匀权重的B样条基函数和控制点构成，这使得它们在保持局部修改能力的同时，还能保证一定的连续性。然而，由于NURBS表达式的特殊性，尤其是有理分式和非均匀节点，直接对它们进行求导计算通常比较复杂。 在论文中，作者吴宝海和王尚锦首先回顾了B样条曲线的基础，指出B样条曲线可以用矩阵表示法简洁地表示。B样条曲线的基本形式是一个控制点向量和B样条基函数的乘积之和，可以通过矩阵运算简化。对于B样条曲线的导数，论文给出了一种递推公式（如公式(6)至(10)所示），这些公式展示了如何通过基函数的导数和控制点来计算曲线的任意阶导数。 接着，论文转向三次NURBS曲线，提出了一种矩阵形式的求导计算方法。对于1阶和2阶导数，公式(11)和(12)分别给出了明确的矩阵表达式。这种方法的优点在于，它减少了计算量，尤其在使用MATLAB这样的矩阵运算语言时，可以更高效地实现。 此外，论文还讨论了NURBS曲面的求导计算，指出虽然过程类似，但在二维平面上的计算扩展到了更高维度。NURBS曲面是通过控制网格和二维B样条基函数构建的，其求导同样涉及到复杂的矩阵运算。论文没有在这里给出详细的矩阵表达式，但暗示了方法的扩展性。 这篇论文提供了一种对三次NURBS曲线和曲面进行矩阵形式求导的理论基础和计算方法，这对于CAGD领域的编程和应用具有实际意义。这种方法不仅简化了计算过程，而且利用MATLAB等现代计算工具，可以进一步提升计算效率。