群论基础：同态映射与半群性质

"该资源是一份关于半群与群理论的讲义，主要讨论了同态映射的性质，特别是群的同态映射如何保持结构的特性。内容包括半群、独异点的基本概念，以及相关的幂运算和同态映射的定义和性质。" 在离散数学和抽象代数中，半群与群是基本的代数结构。半群是一个二元运算的集合，其运算满足结合律，即任何两个元素的运算结果与运算顺序无关。例如，整数集合上的加法构成一个半群。如果半群中存在一个单位元，即一个元素与集合中任何其他元素运算后结果不变，那么它就是一个独异点。例如，非零实数集合上的乘法构成一个独异点，单位元是1。 在群的定义中，除了结合律和单位元之外，还包含逆元的概念，即每个元素都有一个逆元，使得它们的运算结果是单位元。例如，整数集合上的加法群，每个元素的逆元就是其相反数。 同态映射是群之间的一种映射，它保持了运算的结构。如果有一个同态映射φ从群G1到群G2，那么φ不仅将G1中的每个元素映射到G2中的元素，而且保持了运算的性质。定理11.5表明，同态映射φ将单位元映射到另一个群的单位元，并且将逆元映射到逆元，这保证了群的结构在映射下得以保持。 同态映射的性质(1)指出，φ(e1) = e2，其中e1是G1的单位元，e2是G2的单位元。这个性质意味着同态映射不会破坏单位元的特性。性质(2)说明，对于G1中的任意元素a，φ(a-1)是φ(a)在G2中的逆元，即φ(a-1) = φ(a)-1。这表明同态映射保留了元素的逆元性质。 此外，讲义还提到了半群与独异点的幂运算，即元素的幂是通过重复运算得到的。在半群中，可以定义任意元素的幂，而在独异点中，还可以定义元素的零次幂，即x0等于单位元e。幂运算的一些基本规则如xn+m = xnxm和(xn)m = xnm在半群和独异点中都成立。 本章内容还包括子群、陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群、循环群和置换群等更深入的群论主题，这些都是理解群论和抽象代数的基础。这些概念在计算机科学中有着广泛的应用，例如在加密算法、图论、编码理论等领域。