单元性质与刚度矩阵详解：常应变单元的弹性力学基础

单元性质与单元刚度矩阵是有限元方法（Finite Element Method, FEM）的基础概念，在工程力学和结构分析中扮演着核心角色。在郭乙木、陶伟明和庄茁编著的《线性与非线性有限元及应用》一书中，这一章节详细探讨了如何通过将复杂的连续体问题离散化为可处理的单元问题。 2.2.1 单元应变：在弹性力学中，单元应变是描述局部几何变化的关键量。通过将微分方程转化为矩阵形式（如式2-20），我们利用单元节点位移向量（）来表达单元内的应变，其中单元应变矩阵（B）是由单元的形状函数（形函数）和节点之间几何关系决定的常数。常应变单元指的是单元内部所有应变分量（如xε, yε, xyγ）在给定单元中保持不变，因为它们仅依赖于常数系数。 单元刚度矩阵（K）是衡量单元抵抗变形的能力，它反映了单元内部各点间相互作用的强度。对于常应变单元，刚度矩阵中的元素由于节点位置和单元形状函数的确定性而固定，这使得在求解时可以简化计算，节省计算资源。 在有限元法的实施步骤中，首先定义单元（如矩形单元、空间单元等）、选择适当的形函数，然后计算单元的刚度矩阵和节点力（B和f）。接下来，将整个结构分解为多个互相独立的单元，并将它们的刚度矩阵连接成整体刚度矩阵，同时考虑节点间的相互作用。整体刚度矩阵与等效节点力一起构成有限元方程组，用于求解结构的位移或应力分布。 书中还介绍了不同类型的单元，如平面与空间单元，以及轴对称问题的处理方法，包括等参数单元和数值积分技术的选择，以及杆系、板壳和振动动力学的有限元应用。对于非线性问题，如材料非线性和几何非线性，都有深入的讨论，包括解决策略和收敛性分析。 通过阅读这一章节，读者将理解如何构建有限元模型，求解线性和非线性问题，以及在实际工程问题中的应用。这不仅限于理论知识，还包括了实际算例和习题，以帮助读者掌握这一强大工具在工程设计和分析中的实践应用。