ACM数论模板:扩展欧几里德与不定方程解法
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更新于2024-08-02
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"本文档提供了一份关于ACM竞赛中常用的数论模板,包括扩展的欧几里德算法、不定方程的解法、中国同余定理以及与原根、积性函数、欧拉函数相关的知识点。这些内容对于理解和解决数论问题非常有帮助。"
扩展的欧几里德算法和不定方程的解:
扩展的欧几里德算法是用来求解两个整数的最大公约数(GCD)的同时,找到一组贝祖等式ax + by = gcd(a, b)的解。在解决不定方程ax + by = n的问题时,首先需要计算a和b的最大公约数。如果gcd(a, b)不能整除n,那么方程没有整数解。否则,可以将方程转换为gcd(a, b)的倍数形式,即a'x + b'y = n',其中gcd(a', b') = 1。然后,找到方程a'x + b'y = 1的一个整数解(x0, y0),所有解可以通过x = n'/gcd * x0 + b'/gcd * t和y = n'/gcd * y0 - a'/gcd * t来表示,t为任意整数。
中国同余定理:
中国同余定理是数论中的一个重要工具,用于解决同余方程组的问题。它表明,如果给定一系列模数m_i和对应的余数r_i,且它们满足模线性同余方程组,即x ≡ r_i (mod m_i),那么存在一个解x,且这个解是模m_1 * m_2 * ... * m_k的唯一同余类。在程序实现中,通常通过扩展的欧几里德算法来寻找解。
原根和积性函数:
原根是指在模p意义下,具有指数性质g^k ≡ 1 (mod p)的最小正整数k,称为g的阶。积性函数是这样的函数f:N → Z,对于所有的正整数m和n,如果(m, n) = 1,则f(mn) = f(m) * f(n)。原根和积性函数在密码学和编码理论中有广泛应用。
欧拉函数性质:
欧拉函数φ(n)定义为小于n且与n互质的正整数的数量。欧拉函数有若干重要的性质,例如φ(p^k) = p^(k-1) * (p-1),其中p是素数。此外,欧拉函数还满足φ(ab) = φ(a) * φ(b),当a和b互质时。在编程竞赛中,快速计算欧拉函数的值是必要的。
线性求1-max的欧拉函数值:
在线性时间内求出1到max之间所有数的欧拉函数值之和,可以利用欧拉函数的性质和预处理数据来实现。这在处理涉及欧拉函数的复杂问题时非常有用。
求单个欧拉函数,求最小的x满足phi(n)%x == 0:
这个问题要求找到最小的x,使得2^x对模n取模等于1。这可以通过计算n的循环节长度(也称为欧拉序)来解决,该长度与欧拉函数有关。可以使用扩展欧几里德算法和原根的概念来找到这个最小的x。
总结:
这些模板提供了ACM竞赛中数论问题的基本工具,包括求解不定方程、应用中国同余定理、理解和计算原根、积性函数和欧拉函数。掌握这些知识对于提高在算法竞赛中的表现至关重要。
2023-09-10 上传
2023-10-26 上传
2023-09-24 上传
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