MATLAB数值积分与微分详解：辛普森法与牛顿-柯特斯法应用

MATLAB数值积分与微分是MATLAB学习中的一个重要部分，主要涉及两种核心方法：数值积分和数值微分。数值积分在实际工程和科研中常用于解决连续函数的积分问题，当解析解不易获取时，这些数值方法提供了有效求解手段。 8.1 数值积分 数值积分的基本原理是将积分区间划分为多个子区间，然后通过简单的规则（如梯形法则、辛普森法则和牛顿-柯特斯法则）将原积分问题转化为一系列加权和的形式。这些方法利用有限数量的函数值来逼近无限小的面积，误差随子区间的细化而减小。 在MATLAB中，实现数值积分的两个主要函数是quad和quad8。quad函数采用变步长辛普森法则，适用于一般情况下的定积分计算。其调用格式包含被积函数名（fname）、积分下限和上限、精度控制参数（tol，默认值0.001）以及积分过程的可视化控制（trace，默认关闭）。例如，例8-1演示了如何使用fesin.m文件定义被积函数并求解定积分，输出结果包括积分值和函数调用次数。 另一方面，quad8函数基于牛顿-柯特斯法则，提供更精确的积分结果，通常需要的函数调用次数较少。其调用参数与quad类似，但tol的默认值为10^-6。例8-2展示了如何使用fx.m函数和quad8函数计算fx(x)在[0,π]上的积分，并观察到quad8函数的精度更高。 8.1.2 实现方法举例 - 变步长辛普森法示例：`[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)`，其中fesin.m为被积函数，S为积分值，n为函数调用次数。 - 牛顿-柯特斯法示例：`I=quad8('fx',0,pi)`，I为积分结果， quad8函数在相同精度下可能减少函数调用次数，提高效率。 比较quad和quad8时，可以通过设置相同的tol值，比如`format long; fx=inline('exp(-x)');`来对比两者在计算同一积分时的性能差异，包括积分值和函数调用次数。 数值微分是另一类重要的数值计算技术，它用于估计函数在某点的导数。MATLAB也提供了相应的函数，如diff和gradient，用于一阶和高阶微分的数值计算，但在此资源中并未详细介绍。MATLAB数值积分与微分部分为用户提供了强大的工具箱，帮助处理复杂函数的数值分析问题，是深入理解数值计算和MATLAB应用的关键环节。