掌握计算几何基础：向量、正交分解与数量积详解

计算几何是数学的一个分支，主要研究在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中，利用数学工具处理几何形状和空间关系的问题。以下是一份关于计算几何基础知识的提纲： 1. **向量基础** - 向量是具有大小和方向的量，通常用有序对(a, b)或(x, y)表示，代表从原点到点(a, b)的有向线段。 - 零向量与所有向量平行，没有特定的方向。 - 通过两点(A(x1, y1), B(x2, y2))可以确定一个向量，向量AB的坐标为(a = x2 - x1, b = y2 - y1)。 - 向量可以进行正交分解，将其分解为互相垂直的分量，如a = x + y，其中x沿一个方向，y沿另一个垂直方向。 - 向量的加减和数乘遵循运算法则，如a + b = (m+p, n+q)，λa = (λm, λn)，满足交换律和结合律。 - 向量数量积（点积或内积）是两个向量的模长乘积与它们之间角度余弦的乘积，a·b = |a||b|cosθ，具有交换律和分配律。 2. **向量数量积的应用** - 向量垂直：当a·b = 0时，表示a与b互相垂直。 - 同向或共线：若a·b = |a||b|，则a与b共线。 - 夹角计算：通过数量积计算两个向量之间的角度。 3. **向量积（叉积或外积）** - 向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，可通过右手螺旋法则确定。 - 向量积的模等于两个向量模长的乘积与它们之间角度的正弦值，几何上表示为对应平行四边形的面积。 理解并掌握这些计算几何的基础知识对于处理图形学中的变换、碰撞检测、体积计算等问题至关重要。在实际编程中，向量和向量积的运用广泛，如在三维空间中的旋转、平移和缩放操作，以及在计算机图形渲染中的光照计算。学习这些概念有助于提高编程效率和算法设计能力。