对称非本原布尔矩阵的指数集研究

"对称几乎可约矩阵的两个指数集 (1997年)" 这篇论文主要探讨了对称非本原几乎可约布尔矩阵的幂敛指数集和最大密度指数集这两个重要的概念。在布尔代数的背景下，布尔矩阵是一种由0和1组成的矩阵，它们遵循特殊的加法和乘法规则。矩阵的可约性是线性代数中的一个重要概念，指的是通过置换矩阵可以将其转换为特定的标准形式。 对于n阶布尔矩阵，如果一个矩阵是不可约的，但在改变任意一个1为0后变得可约，那么这个矩阵被称为几乎可约。论文关注的是对称且非本原的几乎可约布尔矩阵，其中“对称”意味着矩阵与其转置相等，“非本原”意味着它不能通过简单的行或列变换变为对角形。 幂敛指数k(4)是矩阵A的幂序列达到稳定状态所需的最小正整数，即存在t>0使得Ak=Ak+t。周期p(4)是矩阵幂序列重复自身所需的最小正整数，即Ak=Ak+p。集合Bn,p包含了所有周期为p的n阶不可约布尔矩阵。 矩阵的最大密度μ(4)是指在矩阵的所有幂A^i中，1的个数的最大值。最大密度指数h(4)则是所有可能的最大密度m对应的指数的下确界，即h(4)是所有满足m≤μ(A^i)的m的最小上界，其中m属于正整数集合Z+。 论文还提到了布尔矩阵与有向图的关联，每个布尔矩阵可以对应一个有向图，其顶点是矩阵的行或列，弧的存在基于矩阵中的非零元素。因此，通过对有向图的研究，可以进一步理解布尔矩阵的性质。 作者李毓祁通过深入研究，完全确定了这类矩阵的幂敛指数集和最大密度指数集，这对于布尔代数和图论领域的理论发展具有重要意义，同时也为理解和处理这类矩阵提供了一种有效的方法。该研究对于计算机科学中的布尔逻辑、数据结构和算法分析等领域可能有潜在的应用价值。