拟牛顿法与DFP算法详解

"拟牛顿法是一种优化方法，旨在解决最优化问题，它结合了牛顿法的快速收敛性与避免直接计算海森矩阵及其逆的便利性。该方法主要适用于寻找函数的局部极小值。拟牛顿法通常包括一维线性搜索，通过对函数在当前点的二次近似来确定下降方向。本文将讨论拟牛顿法的基本概念、不同类型的拟牛顿法，以及算法的具体实现，特别是DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法的MATLAB程序。” 拟牛顿法是优化算法的一种，源于牛顿法。牛顿法利用海森矩阵（Hessian matrix）进行迭代，以找到函数的局部极小值。然而，海森矩阵的计算和逆运算对于大型问题来说过于复杂和耗时。拟牛顿法通过引入近似海森矩阵的方法，解决了这一问题，保持了较快的收敛速度。拟牛顿法有两种主要形式：DFP（Davidon-Fletcher-Powell）法和BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）法。 DFP算法的核心在于其校正公式，确保迭代矩阵是对称正定的。算法的步骤包括初始化、计算搜索方向、进行一维线性搜索、更新迭代点和迭代矩阵，直到满足终止条件。在MATLAB程序中，`minDFP`函数用于实现DFP算法，接收目标函数、初始点、自变量向量和精度作为输入，输出最小值点和最小函数值。程序中包含了计算梯度、一维搜索以及更新迭代矩阵的逻辑。 在实际应用中，DFP算法会计算目标函数在当前点的梯度，并通过迭代矩阵乘以梯度的转置得到搜索方向。然后，通过一维线性搜索（如Golden Section Search或Armijo Backtracking Line Search）找到合适的步长，更新迭代点。如果连续几次迭代的梯度范数小于预设的精度，则认为找到了局部极小点，算法终止。 拟牛顿法，特别是DFP算法，为解决非线性优化问题提供了一种有效且实用的工具，尤其在处理大规模问题时，能避免直接计算高阶导数，从而降低了计算复杂度。通过MATLAB等编程语言实现，可以方便地应用于各种实际问题的求解。