分数布朗运动下的最值期权定价模型与解析解

"分数布朗运动环境中最值期权定价* (2008年)，薛红，王拉省，西安工程大学理学院" 文章介绍了在金融数学领域，特别是在衍生证券定价理论中，如何考虑分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）的影响。传统的Black-Scholes模型假设股票价格遵循几何布朗运动，而分数布朗运动则引入了更复杂的统计特性，如自相似性和长期依赖性，更符合现实市场的观察。 在本文中，作者首先假定股票价格是由分数布朗运动驱动的随机微分方程（SDE）所决定的。分数布朗运动的一个关键特性是它的Hurst参数可以取值在0到1之间，而几何布朗运动是Hurst参数为1/2的特殊情况。当Hurst参数大于1/2时，fBm体现出较强的长期记忆性，这意味着当前的价格不仅受当前市场状态影响，还受到过去价格的历史影响。 作者通过分数布朗运动的随机分析理论，探讨了未定权益（也称为路径依赖期权）的定价问题。未定权益的价格依赖于标的资产路径的特定特征，例如最大值或最小值。他们得到了欧式未定权益的一般定价公式，这是一类期权，其支付仅取决于标的资产在到期日之前的最高或最低价格。 特别地，他们关注的是欧式最值期权，这类期权的支付取决于股票价格在整个期限内的最大值。通过数学推导，作者给出了这种期权的解析表达式，揭示了它的定价机制。此外，他们还讨论了最值期权的平价关系，这是期权定价理论中的一个重要概念，它连接了期权价格、标的资产价格、利率、波动率和期权的到期时间。 文章进一步指出，相比于经典的Black-Scholes模型，分数布朗运动模型能更好地捕捉到资产价格的动态特性，因此在理论研究和实际应用中都具有重要意义。随着对分数布朗运动理论的深入研究，其在金融市场建模和衍生产品定价中的作用越来越受到重视。 总结来说，这篇论文是金融数学研究的一个贡献，它提供了一种新的方法来处理基于分数布朗运动的期权定价问题，特别是对于最值期权这种复杂类型的期权，这有助于金融市场参与者更准确地评估这些非标准期权的价值，并可能为风险管理策略提供更好的理论基础。