《算法分析》期末考试试题与解答

"这是一份天津大学软件学院软件工程专业关于《算法分析》的期末考试试卷，涵盖了算法概念、时间复杂度分析、递归方程的Master方法求解、分治法以及贪心法等内容。" 这篇考试内容涉及了算法理论和实践中的核心知识点： 1. **算法概念**：正确理解算法的定义是基础。算法是解决问题的一系列明确步骤，它可以在有限步骤内终止。选项C正确描述了这一点，而其他选项A、B和D则存在误导。 2. **时间复杂度**：O(n^3)表示算法运行时间与问题规模n的三次方成正比。选项C表达了这个概念，而A和D错误地将时间复杂度与问题规模混淆，B则错误地将时间复杂度视为具体数值。 3. **时间复杂度比较**：比较不同函数的渐进时间复杂度，主要看随着n增大时增长率的高低。在给定的选项中，A、B和C都比D的高阶项增长慢，但需注意低阶项的影响。经过比较，A和B的log2n项在n足够大时可以忽略，因此A的T(n)是渐进时间最小的。 4. **循环计算时间复杂度**：第4题的程序片段，x在while循环中每次翻倍，直到小于n/2。因此，循环执行的次数是log2(n/2)，即log2n - 1。 5. **嵌套循环的时间复杂度**：suanfa1函数中的双层for循环，内层循环的执行次数为外层循环的总和，即n * (n-1)/2，对应于C选项。 6. **Master方法**：这是一个用于解决递归方程的工具，用于分析递归算法的时间复杂度。根据Master方法，可以确定每个递归方程的时间复杂度： - 对于T(n)=4T(n/2)+n^1.9，因为a=4, b=2, f(n)=n^1.9，根据Master定理，属于第三类情况，所以T(n) = O(n^1.9)。 - 对于T(n)=9T(n/2)+n^2*2^n，a=9, b=2, f(n)=n^2*2^n，f(n)的增长速度快于n^logb a，故T(n) = O(2^n)。 - 对于T(n)=9T(n/3)+11n^2，a=9, b=3, f(n)=11n^2，f(n)的增长速度慢于n^logb a，所以T(n) = O(n^log3 9) = O(n^2)。 7. **递归树分析**：展开递归式T(n)=T(2)+T(n-2)+cn的递归树，通过归纳分析，可以得出其渐进时间复杂度。 8. **分治法**：分治法是将大问题分解为小问题解决的策略，适用于可以分解为相同子问题且子问题可合并的情况。快速排序是分治法的经典应用，其基本思想是选择一个基准值，将数组分为两部分，然后对两部分分别进行排序。最差情况发生在每次划分只减少一个元素时，此时时间复杂度为O(n^2)。 9. **贪心法**：在连续背包问题中，按照价值密度非递减的顺序选择物品可以得到一个可行解。对于给定的例子，可以通过贪心策略找到解决方案，并分析其效果。 这份考试试卷全面覆盖了算法分析的关键概念，包括基本的算法理解、时间复杂度分析、递归方程求解以及经典的算法设计策略，如分治法和贪心法。这些知识点对于理解和设计高效的算法至关重要。