多圆盘Bergman空间中无界符号Toeplitz算子的研究

"这篇论文探讨了多圆盘上Bergman空间中的一个特定主题——具有无界符号的Toeplitz算子。作者蹇英娟受到曹广福教授和Josepha.Cima教授研究的影响，深入研究了这类算子的性质，包括它们的有界性、紧性和Hilbert-Schmidt性质。" 在多圆盘上的Bergman空间中，Bergman空间是指由解析函数构成的平方可积空间，通常用记号`A^2(Dn)`表示，其中`Dn`是复平面中的多圆盘区域。这个空间对于复分析和泛函分析的研究具有重要意义，因为它提供了一个研究解析函数和算子理论的框架。 Toeplitz算子是Bergman空间中的一个重要工具，它由一个乘子函数定义，即算子T_f作用于函数g时，定义为T_f(g) = P(fg)，其中P是Bergman投影，将L^2(Dn)空间中的函数投影到Bergman空间。这里，f是作用在多圆盘上的复值函数，称为Toeplitz算子的符号。 本论文关注的是符号无界的Toeplitz算子，这意味着函数f不在任何复球上是有界的。这种算子的性质通常比符号有界的算子更复杂，因为它们可能无法保持某些标准的算子属性，例如有界性或紧性。 论文中提到了几个关键概念和结果： 1. Toeplitz算子的有界性：作者研究了当符号f属于L^2(Dn)时，Toeplitz算子T_f是否在Bergman空间上是有界的。这是Toeplitz算子理论的基本问题之一。 2. 紧性：紧性是算子理论中的一个重要概念，它涉及到算子是否可以由有限秩算子的序列逼近。作者探讨了符号无界的条件下，如何判断一个Toeplitz算子是否为紧算子。 3. Hilbert-Schmidt性质：Hilbert-Schmidt算子是其迹平方可积的线性算子，它们在无穷维空间中扮演着特殊的角色。作者也研究了当符号函数满足何种条件时，相应的Toeplitz算子是Hilbert-Schmidt的。 此外，论文还引用了其他学者如Axler、Grudsky、Vasilevskiy以及曹广福和Josepha.Cima的工作，这些工作为理解和解决这个问题提供了背景和灵感。例如，Josepha.Cima的研究可能为理解无界符号的Toeplitz算子提供了新的视角或技术。 这篇论文深入研究了多圆盘上Bergman空间中具有无界符号的Toeplitz算子，对它们的有界性、紧性和Hilbert-Schmidt性质进行了详细探讨，这对于理解这类算子的性质及其在复分析和泛函分析中的应用具有重要价值。