构造简单矩阵分解解决二次优化的SDP松弛：信赖域方法的应用

二次优化问题的SDP松弛求解方法是一种在非线性优化领域广泛应用的技术，由范丽君和艾文宝两位专家在北京邮电大学运筹学与控制论系提出。信赖域方法作为解决非线性优化问题的核心手段，其核心步骤之一是处理信赖域子问题，这类问题本质上可以转化为二次优化问题。Sturm和Zhang首先通过秩一分解的方法，建立了信赖域子问题与半正定规划之间的桥梁，证明了无约束信赖域子问题的半正定松弛（SDP松弛）是紧凑的，这意味着原问题的最优解可以通过松弛问题的解得到。然而，他们的方法虽然理论上证明了可行性，但缺乏具体的简单分解步骤。 本文作者在Sturm和Zhang的基础上，提供了更为简洁的矩阵分解方法，使得在实际操作中可以更方便地获取原问题的精确解或近似解。他们使用Matlab编程实现了这一算法，并给出了有效性证明，通过初步的数值结果证实了这种方法的有效性。对于等式约束优化问题中的信赖域子问题，通常称为“两球问题”，作者也应用了类似的方法，结果显示对于超过95%的问题，该方法都能取得良好的效果。 信赖域方法的重要性在于其作为非线性优化的主流数值计算技术，与传统的线搜索方法并列，对于大规模问题，如何高效地近似求解信赖域子问题成为关键。文章中的折线法（如Powell的算法）和双折线方法（由Dennis和Mei发展）是此类研究的一部分。尽管特征值分解方法在理论上有用，但在实际应用中可能较为复杂。本文作者的工作不仅扩展了信赖域子问题的解决策略，还简化了实施过程，对提高信赖域方法的实用性具有重要意义。 总结来说，本文的核心贡献是提供了一种基于半正定规划的简单矩阵分解方法，用于求解二次优化问题的信赖域子问题，尤其是针对大规模问题的高效近似求解，这对于信赖域方法的优化实践具有重要价值。同时，对于等式约束优化的特定子问题，该方法展现出了广泛适用性和有效性。