哈尔滨工程大学《线性代数》期末复习精华资料及答案

本资源是一份哈尔滨工程大学《线性代数》期末复习资料，包含了丰富的考试复习内容，适用于在校学生进行期末备考。资料主要分为填空题、单项选择题和计算题三个部分。 1. 填空题 - 第一题要求求解矩阵A的逆矩阵，即求得使得\( A \times (-1)A = I \)，其中I是单位矩阵。这涉及到矩阵的逆运算，是线性代数基础中的重要内容。 - 第二题涉及二次型的矩阵表达式，要求将二次型 \( f(x,y,z) = xy^2 + yz^2 + zy \) 转化为矩阵形式。这涉及二次型的坐标表示，是矩阵与向量代数的应用。 - 第三题关于齐次线性方程组的基础解系，当方程组系数矩阵A的伴随矩阵乘以其秩R的负一次幂时，基础解系的解向量个数由矩阵秩与方程组的未知数个数的关系决定。 - 第四题考察特征值的性质，给定矩阵A的特征值，需要计算复合矩阵\( E^2A + 3EA + 2A \)的特征值，这需要用到特征值的运算规则。 - 第五题要求计算矩阵的变换，给定矩阵A和P，以及它们之间的关系，利用矩阵的相似性和逆矩阵的性质，可以求出矩阵B的特定元素。 2. 单项选择题 - 选择题涉及方阵的特征值问题，包括特征值的性质（如每行元素和等于1的矩阵的特征值）、正定阵的定义及其特征值范围、矩阵相似性的条件以及齐次线性方程组解向量的性质。 - 第一个问题判断n阶方阵的特征值，考虑的是所有元素和为常数的方阵可能的特征值。 - 第二个问题是关于正定阵的特征值，正定矩阵的主对角线元素必须大于所有其他元素的平方和，以此确定t的取值范围。 - 第三个问题是矩阵相似性的判断，通过比较矩阵元素的对应关系来确定a和b的关系。 - 第四个选择题考查齐次线性方程组通解的形成，涉及两个特定解向量的线性组合。 - 最后一个问题是关于线性代数基本概念的辨识，错误命题的识别。 3. 计算题 - 计算题部分主要考查行列式的计算，要求求解包含变量的行列式，这涉及到行列式的展开、行（列）变换等技巧，是检验考生运算能力的重要环节。 这份复习资料涵盖了线性代数的基本概念、矩阵运算、特征值与特征向量、正定矩阵、行列式计算等多个重要知识点，对期末考试准备非常有帮助。考生在复习时应注意理解和掌握这些核心内容，以便在考试中取得好成绩。