Python科学编程入门：2版，涵盖蒙特卡洛模拟与数值方法

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"A Primer on Scientific Programming with Python (2nd Edition)" 是一本专为科学研究和技术编程者编写的指南，由汉斯·彼得·朗坦根(Hans Petter Langtangen)等多位作者合著，由 Springer 出版社发行。这本书的主要内容涵盖了科学计算与工程中的关键概念，特别是利用Python语言进行编程实践。书中涵盖了以下几个核心主题： 1. **Monte Carlo模拟**：这是一种数值计算方法，通过随机抽样来解决复杂问题，常用于统计力学、金融建模等领域。在Python中，作者会介绍如何利用其高效和灵活的特性来实现这些模拟。 2. **Python编程**：作为主角，本书详细介绍了Python语言的基础，包括其语法、数据类型、控制结构以及面向对象编程（Object-Oriented Programming, OOP）的概念，使读者能够快速掌握在科学计算中的编程技巧。 3. **数值微积分**：这部分内容涉及导数、积分等基础数学运算的数值计算方法，对于理解物理方程和优化问题至关重要。Python提供了丰富的科学计算库如NumPy和SciPy，便于处理这些计算任务。 4. **数值方法**：包括数值解算各种偏微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）、线性代数问题、差分方程等，这些都是许多科学模型的核心组成部分。书中会介绍如何用Python的科学计算工具来设计和实现这些算法。 5. **向量化编程**：向量化是提高Python性能的重要策略，通过利用数组操作而不是循环，可以显著提升程序的效率。书中会深入讨论如何利用NumPy和Pandas等库实现高效的向量化编程。 6. **工程应用示例**：作者通过具体的例子展示了如何将上述理论应用于实际工程场景，包括但不限于气候模型、流体力学、机器学习等领域的编程挑战。此外，该书还包含了版权信息，表明了它受到德国版权法的保护，并提供了一些国际标准数字对象唯一标识符(DOI)和图书分类号，方便读者查找和引用。对于任何对科学编程感兴趣，尤其是想用Python进行复杂计算的读者来说，这本书是一本不可或缺的参考资料。通过阅读和实践书中的内容，读者不仅可以掌握Python语言，还能深入了解如何将其运用到解决实际的科学问题中。

xvi Contents

7.5 E x ampl e: Class for Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . 343

7.5.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

7.5.2 Illegal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.5.3 Mixing Complex and Real Number s . . . . . . . . . . . 346

7.5.4 Special Methods for “Right” Operands . . . . . . . . . 348

7.5.5 Inspecting Instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.6 Static Methods and Attributes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

7.7 Sum mar y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.7.1 Chapter Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.7.2 Summarizing Example: Interval Arithmetics . . . . 353

7.8 E x er ci ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8 Random Numbers and Simple Games . . . . . . . . . . . . 375

8.1 Dr awing Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

8.1.1 The Seed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

8.1.2 Uniformly Distributed Random Numbers . . . . . . 377

8.1.3 Visualizing the Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

8.1.4 Vectorized Drawing of Random Numbers . . . . . . 379

8.1.5 Computing the Mean and Standar d Deviation . . 380

8.1.6 The Gaussian or Normal Distr ib ution . . . . . . . . . 381

8.2 Dr awing Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

8.2.1 Random Integer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

8.2.2 Example: Throwing a Die . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

8.2.3 Drawing a Random Element from a List . . . . . . . 385

8.2.4 Example: Drawing Cards from a Deck . . . . . . . . . 385

8.2.5 Example: Class Implementation of a De ck . . . . . 387

8.3 Compu ting Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

8.3.1 Principles of Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . 390

8.3.2 Example: Throwing Dice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

8.3.3 Example: Drawing Balls from a Hat . . . . . . . . . . . 393

8.3.4 Example: Policies for Limiting Population

Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

8.4 Sim pl e Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.4.1 Guessing a Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.4.2 Rolling Two Dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.5 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.5.1 Standard Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . 401

8.5.2 Area Computing by Throwing Random Points . . 404

8.6 Random Walk in One Space Dimension . . . . . . . . . . . . . . 406

8.6.1 Basic Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

8.6.2 Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.6.3 Random Walk as a Diﬀerence Equation . . . . . . . . 408

8.6.4 Computing Statistics of the Particle Positions . . 408

8.6.5 Vectorized Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

8.7 Random Walk in Two Space Dimensions . . . . . . . . . . . . . 411

Contents xvii

8.7.1 Basic Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

8.7.2 Vectorized Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

8.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

8.8.1 Chapter Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

8.8.2 Summarizing Example: Random Growth . . . . . . . 415

8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

9 Object-Oriented Program ming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

9.1 Inheritance and Class Hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

9.1.1 A Class for Straight Lines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

9.1.2 A First Try on a Class for Parab o las . . . . . . . . . . 439

9.1.3 A Class for Parabolas Using Inheritance . . . . . . . 439

9.1.4 Checking the Class Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

9.1.5 Attribute versus Inheritance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

9.1.6 Extending versus Restricting Functionality . . . . . 443

9.1.7 Superclass for Deﬁning an Interface . . . . . . . . . . . 444

9.2 Class Hierarchy for Numeri cal Diﬀerentiation . . . . . . . . . 446

9.2.1 Classes for Diﬀerentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

9.2.2 A Flexible Main Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

9.2.3 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

9.2.4 Alternative Implementation via Functions . . . . . . 454

9.2.5 Alternative Implementation via Functional

Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

9.2.6 Alternative Implementation via a Single Class . . 456

9.3 Class Hierarchy for Numeri cal Integration . . . . . . . . . . . . 458

9.3.1 Numerical Integration Methods . . . . . . . . . . . . . . . 458

9.3.2 Classes for Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

9.3.3 Using the Class Hierarchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

9.3.4 About Object-Oriented Programming . . . . . . . . . 466

9.4 Class Hierarchy for Geom etr ic Shapes . . . . . . . . . . . . . . . 467

9.4.1 Using the Class Hierarchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

9.4.2 Overall Design of the Class Hier archy . . . . . . . . . 469

9.4.3 The Drawing Tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

9.4.4 Implementation of Shape Classes . . . . . . . . . . . . . 472

9.4.5 Scaling, Translating, and Rotating a Figure . . . . 476

9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

9.5.1 Chapter Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

9.5.2 Summarizing Example: Input Data Reader . . . . . 482

9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

A Sequences and Diﬀerence Equations . . . . . . . . . . . . . . 497

A.1 Mathematical Models Based on Diﬀerence Equations . . 498

A.1.1 Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

A.1.2 The Factorial as a Diﬀerence Equation . . . . . . . . 501

A.1.3 Fib ona cci Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

xviii Contents

A.1.4 Growth of a Population. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

A.1.5 Logistic Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

A.1.6 Payback of a Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

A.1.7 Taylor Series as a Diﬀerence Equation . . . . . . . . . 507

A.1.8 Making a Living from a Fortune . . . . . . . . . . . . . . 508

A.1.9 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

A.1.10 The Inverse of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

A.2 Programming with Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

A.2.1 Writing Soun d to File . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

A.2.2 Reading Sound from File . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

A.2.3 Playing Many Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

A.2.4 Music of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

A.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

B Introduction to Discrete Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

B.1 Discrete Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

B.1.1 The Sine Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

B.1.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

B.1.3 Evaluating the Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 532

B.1.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

B.2 Diﬀerentiation Becomes Finite Diﬀere nces . . . . . . . . . . . . 535

B.2.1 Diﬀerentiating the Sine Function . . . . . . . . . . . . . . 536

B.2.2 Diﬀerences on a Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

B.2.3 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

B.3 Integration Becomes Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

B.3.1 Dividing into Subintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

B.3.2 Integration on Subintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

B.3.3 Adding the Su bintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

B.3.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

B.4 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

B.4.1 Approximating Functions Close to One Point . . . 545

B.4.2 Approximating the Exponential Function . . . . . . 545

B.4.3 More Accurate E x p ansi ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

B.4.4 Accuracy of the Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 548

B.4.5 Derivatives Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

B.4.6 More Accurate D i ﬀer enc e Approximations . . . . . 551

B.4.7 Second-Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

B.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

C Introduction to Diﬀerential Equations . . . . . . . . . . . . 561

C.1 The Simplest Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

C.2 Ex ponential Gr owth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

C.3 Logis tic Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

C.4 A Simple Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

C.5 A Model for the Spread of a Disease . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

Contents xix

C.6 E x e rc ise s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

D A Complete Diﬀerential Equation Project . . . . . . . . 577

D.1 About the Problem: Motion and Forces in Physics. . . . . 577

D.1.1 The Physical Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

D.1.2 The Computational Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 580

D.1.3 Derivation of the Mathematical Model . . . . . . . . . 580

D.1.4 Derivation of the Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

D.2 Program D evelopment and Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

D.2.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

D.2.2 Callback Functionality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

D.2.3 Making a Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

D.2.4 Veriﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

D.3 Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

D.3.1 Simultaneous Computation and Plotting . . . . . . . 591

D.3.2 Some Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

D.3.3 Remark on Choosing ∆t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

D.3.4 Comparing Several Quantities in Subplots . . . . . 595

D.3.5 Comparing Approximate and Exact Solutions . . 596

D.3.6 Evolution of the Error as ∆t Decreases . . . . . . . . 597

D.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

E Programming of Diﬀerential Equations . . . . . . . . . . . 603

E.1 Scalar Ordinary Diﬀerential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 604

E.1.1 Examples on Right-Hand-Side Functions . . . . . . . 604

E.1.2 The Forward Euler Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

E.1.3 Function Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

E.1.4 Verifying the Implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . 607

E.1.5 Switching Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

E.1.6 Class Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

E.1.7 Example: Logistic Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

E.2 Systems of Ordinary Diﬀerential E q ua tions . . . . . . . . . . . 613

E.2.1 Mathematical Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

E.2.2 Example of a System of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . 615

E.2.3 From Scalar ODE Code to Systems . . . . . . . . . . . 616

E.2.4 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

E.2.5 The ODE Solver Class Hierarchy . . . . . . . . . . . . . 621

E.2.6 The Backward Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

E.2.7 Application 1: u

′

= u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

E.2.8 Application 2: The Logistic Equation . . . . . . . . . . 627

E.2.9 Application 3: An Oscillating Sy stem . . . . . . . . . . 629

E.2.10 Application 4: The Trajectory of a Ball . . . . . . . . 631

E.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

F Debugging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

F.1 Using a Debugger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

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南风以南

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