快速傅里叶变换FFT详解及计算过程

"FFT计算过程.pdf" 本文主要介绍了快速傅里叶变换(FFT)的基本概念、DFT的基础知识以及FFT的核心——旋转因子的性质，并详细阐述了FFT的蝶形计算过程。FFT作为离散傅里叶变换(DFT)的一种高效算法，广泛应用于各种信号处理和频谱分析场景。 一、快速傅里叶变换(FFT)简介 FFT是一种针对DFT的优化算法，通过分治策略减少了计算量。DFT是离散时间傅里叶变换(DTFT)的离散化版本，适用于数字信号处理，因为它同时处理离散的时域信号和频域结果，便于计算机实现。 二、离散傅里叶变换(DFT) DFT将一个离散序列转换为其频谱表示，公式中N为序列长度，ω为2π/N的倍数。在实际计算中，通常选取ω的值使得DFT结果与输入信号长度相同，以实现对连续频谱的离散化采样。 三、旋转因子ω的性质 1. 周期性：ω每隔N取一次值，即ω = k * 2π/N, k = 0, 1, ..., N-1。 2. 对称性：ωk = -ω(N-k)，这表明正负频率项可以通过相互映射来计算。 3. 缩放性：ωk = ω * (k mod N)，这一特性使得相同的ω值可以在不同长度的子问题中复用，减少重复计算。 四、FFT的蝶形计算 1. 分治策略：将输入序列x[n]按奇偶索引分为x_even[n]和x_odd[n]两部分，它们的长度减半。 2. DFT分解：利用旋转因子的性质，将DFT公式拆分为偶数和奇数索引的两部分，即X_even[k]和X_odd[k]。 3. 递归计算：继续对x_even和x_odd进行相同的操作，直到子序列长度为1，直接计算出DFT值。 4. 蝶形运算：通过组合这些子问题的结果，构建出完整的DFT。在每次计算中，涉及加法和乘以旋转因子的乘法，形成“蝶形”结构，显著减少了计算复杂度。 总结，FFT通过旋转因子的特殊性质和分治算法，将原本需要O(N^2)复杂度的DFT计算降低到了O(N log N)，极大地提高了计算效率。这一高效算法在音频处理、图像分析、通信等领域有着广泛的应用。