数据结构习题解析：邻接矩阵与路径检测

"数据结构习题课5包含了关于数据结构中的图相关问题的参考答案，主要涉及邻接矩阵和邻接表的表示，以及图的性质分析和路径检测算法。内容涵盖吉林大学计算机科学与技术学院的数据结构课程，由谷方明教授指导。题目包括5-1至5-16，特别关注了邻接矩阵的元素数量计算，稀疏矩阵的判断，以及在邻接表中检测有向图路径的存在性。" 在数据结构中，图是一种重要的数据组织方式，用于表示对象之间的关系。本习题集主要讨论了两种常见的图表示方法——邻接矩阵和邻接表。 5-1和5-7主要涉及到邻接矩阵的使用。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示图中各个顶点之间的连接情况。在给定的邻接矩阵中，可以看出图的顶点序列为A, B, C, D, E，且矩阵反映了这些顶点之间的边。例如，从顶点A到顶点C有一条边，因为矩阵中A行C列的值为1。5-7则讨论了邻接矩阵的统计特性，对于1000个顶点和1000条边的图，邻接矩阵有1000×1000个元素，若是有向图，非零元素为1000，若是无向图，非零元素为2000。当非零元素远小于总元素数时，我们称该矩阵为稀疏矩阵。 5-12是关于在邻接表中检测有向图中从顶点v到顶点u路径存在的算法设计。邻接表相比于邻接矩阵更节省空间，尤其在处理稀疏图时。算法Path(v, u, flag)使用递归方法，先标记当前顶点v为已访问，然后遍历v的所有邻接顶点，如果找到一条从邻接顶点到u的路径，返回TRUE，否则继续搜索，最后如果没有找到路径，返回FALSE。此算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。 5-13题则提出了一个判断有向图中是否存在回路的算法需求，一种常见的方法是使用深度优先搜索（DFS）。在DFS过程中，每个节点不仅标记是否已访问，还会有一个状态表示是否正在被访问。如果在访问过程中发现一个节点既已被访问又正在访问，那么就存在回路。 以上内容详细解析了数据结构中的图论知识，包括图的存储方式、性质分析以及路径和回路的检测算法，这些都是理解图论和进行图相关问题解决的基础。