华科大矩阵论课后习题解析：线性空间、秩、零空间与子空间

"矩阵论是线性代数的一个重要分支，主要研究矩阵的性质及其在数学、物理、工程等领域的应用。以下是对标题和描述中涉及的知识点的详细解释。 1. **线性空间**：线性空间是满足加法交换律、加法结合律、存在加单位元、存在加逆元、数乘闭合性以及分配律的集合。在（1）、（2）中，矩阵集合对加法和数乘运算构成R上的线性空间，但在（3）中，由于数乘不满足封闭性（1=），所以不是线性空间；在（4）中，当k<0时，数乘不满足封闭性，因此也不是线性空间。 2. **线性空间的维数与基**：线性空间的维数是其基的元素数量，一组基是能生成整个空间的线性无关向量集合。例如，题目中给出的线性空间的维数为n(n+1)/2，说明存在这样一组基。 3. **子空间的等价**：若两个子空间的维数相等，并且它们的基可以互相转换（通过一个可逆矩阵），则这两个子空间是相等的。这里通过证明两个基可以互相线性表示，最终得出U1=U2。 4. **矩阵的列空间R(A)**：列空间是矩阵所有列向量生成的空间，若一个向量在R(A)中，意味着它可以通过矩阵A的列向量的线性组合得到。在题目中，通过增广矩阵的秩判断，向量在R(A)中。 5. **线性相关性**：在P4[x]中，如果一个向量组的系数矩阵的秩小于向量的数量，则该向量组线性相关。这里，向量组P1, P2, P3的系数矩阵秩为2，说明它们线性相关。 6. **秩-零度定理**：在任何线性映射中，其值域的维数（rank）加上核（nullity）的维数等于输入空间的维数。证明中通过构造非零解来确定零空间的维数，最后验证了dimR(A)+dimN(A)=n。 7. **矩阵的列空间R(A)和零空间N(A)**：列空间是所有列向量的生成空间，零空间是使得矩阵映射为零的所有向量的集合。通过行简形化，可以找到列空间的基，并求出零空间的一组基。 8. **过渡矩阵和坐标变换**：从一组基转换到另一组基需要过渡矩阵，该矩阵的列是由原基到新基的坐标向量。通过解线性系统可以得到过渡矩阵，从而得到特定向量在新基下的坐标。 9. **子空间的判定**：子空间必须满足加法闭合、数乘闭合以及包含零向量的条件。在（1）中，由于加法不封闭，不是子空间；（2）中无零向量，也不是子空间；而（3）和（4）满足子空间的定义。 10. **线性系统的解**：通过求解线性系统，可以找到特定向量的表示。这里的解是通过设置未知数并解方程组得到的。 11. **矩阵空间的子空间和维数**：在矩阵空间中，子空间的维数是其元素（矩阵）的秩。对于V1，需要找到构成V1的矩阵的秩以确定其维数；对于V2和V3的维数，需要考虑它们之间的关系以及与V1的交集。 以上是矩阵论课程中的基本概念和问题解答，涵盖了线性空间的性质、矩阵的秩、列空间和零空间、线性相关性、子空间的判定以及向量在不同基下的坐标转换等多个重要知识点。"