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矩阵论同步辅导详解:张凯院&徐仲编教材配套习题与试题解析
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更新于2024-07-20
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矩阵论同步学习辅导是由张凯院和徐仲共同编撰的一本针对高等教育中的矩阵论课程的辅导书籍。该书由中国西北工业大学出版社于2002年8月出版,旨在帮助研究生和本科高年级学生以及从事矩阵论教学的教师和科技工作者更好地理解和掌握矩阵理论。 该书分为两个主要部分。第一部分是对程云鹏等人编写的研究生教材《矩阵论》(第二版)内容的深入解析。它对矩阵论的基础概念、核心结论和常用方法进行了简洁而全面的归纳,特别关注于各章节的课后习题,提供了详尽的解答,以便读者能够扎实地掌握理论基础。 第二部分则是精华所在,收录了近年来西北工业大学研究生矩阵论课程的考试试题共12套和博士入学考试试题3套。这些试题涵盖课程的各个重要知识点,通过实战演练,帮助读者提升解题能力和对矩阵理论的实际应用能力。作者对这些试题给出了详细的解答,有助于学生检验自己的学习效果,并对复杂问题进行深入理解。 由于矩阵论是一门理论性强且概念抽象的课程,书中强调了矩阵理论在数学和其他科学领域的广泛应用,强调了学习矩阵理论对于研究生的重要性。为了弥补课堂教育中可能存在的理解难度,编写者精心设计了同步学习辅导,以适应矩阵论课程独特的思维方式和解题技巧。 总体而言,《矩阵论同步学习辅导》是一本实用性很强的教材,它不仅适合正在学习矩阵论的学生作为辅助读物,也是教师和科研人员进行教学和研究的实用参考资料。通过阅读和实践书中的内容,读者可以系统地提升自己在矩阵理论方面的知识水平。
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令 ai j = ( xi , xj ) ( i, j = 1, 2, … , n) , 则该基 的度 量矩阵 为 A =
( aij )n× n .
(2 ) 主要特征:基的度量矩阵是实对称 ( Hermite) 正定矩阵 ,
它的阶数等于欧氏(酉) 空间的维数 .
(3 ) 运算转化:设酉空间 V
n
的一个基为 x1 , x2 , … , xn , 该基 的
度量矩阵为 A, x, y ∈ V
n
在该基下的坐标(列向量) 分别为α和β,
那么 x 与 y 的内积 ( x, y) = α
T
Aβ. 当 V
n
为欧氏空间时 , ( x, y) =
α
T
Aβ.
8. 标准正交基
标准正交基指欧氏 ( 酉) 空间中由两两正交的单位向量构成
的基 .
(1 ) 构造方法 : 对欧氏(酉 ) 空间的一个基进行 Schmidt 正交化
可得正交基 ,再对正交基进行单位化可得标准正交基 .
(2 ) 主要特征:正交基的度量矩阵是对角矩阵 , 标准正交基的
度量矩阵是单位矩阵 .
(3 ) 运算转化:设欧氏( 酉) 空间 V
n
的一个标准正交基为 x1 ,
x2 ,… , xn , x, y ∈ V
n
在该基下的坐标分别为α = ( a1 , a2 , …, an )
T
和β= ( b1 , b2 , … , bn )
T
, 则
1) ai = ( x, xi ) , bi = ( y, xi ) ( i = 1 ,2 , … , n) ;
2) ( x, y) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn = (α,β).
二、主 要 结 论
1. 线性子空间
设 V1 和 V2 是线性空间 V
n
的两个子空间 ,则有 :
(1 ) V1 ∩ V2 和 V1 + V2 是 V
n
的子空间 .
—7—
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(3 )dim( V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 - dim( V1 ∩ V2 )
(4 ) 下面四种说法等价:
1) V1 + V2 是直和 ;
2) V1 + V2 中零元素的分解式惟一 ;
3) V1 ∩ V2 = {0};
4) dim ( V1 + V2 ) = dim V1 + dimV2 .
(5 ) 若 V1 + V2 是直和 , 则将 V1 的基与 V2 的基拼接起来可构
成 V1 + V2 的基 .
(6 ) 若 V1 = L( x1 , x2 , …, xm ) , 则 x1 , x2 , … , xm 的最大无关组
是 V1 的基 .
(7 ) 若 V1 = L( x1 , x2 , … , xm ) , V2 = L( y1 , y2 , …, yl ) , 则
V1 + V2 = L( x1 , x2 , … , xm , y1 , y2 ,… , yl )
(8 ) 线性空间 V
n
为欧氏(酉 ) 空间时 , V
n
= V1 ī V
⊥
1 .
(9 ) 设 A ∈ C
m×n
, 则有
1) [ R( A) ]
⊥
= N( A
H
) , 且 C
m
= R( A) ī N( A
H
) ;
2) [ R( A
H
) ]
⊥
= N( A) , 且 C
n
= R( A
H
) ī N( A).
(10) 设 V
n
的一个基为 x1 , x2 , … , xn , 则 V
n
= L( x1 , x2 ,… ,
xn ).
2. 向量组的线性关系
设线性空间 V
n
的一个基为 x1 , x2 , … , xn , y, yj ∈ V
n
在该基下
的坐标分别为β和βj ( j = 1, 2, …, m) , 则有:
(1 ) y 可由 y1 , y2 ,… , ym 线性表示的充要条件是β可由β1 ,β2 ,
… ,βm 线性表示 .
(2 ) y1 , y2 ,… , ym 线性相(无 ) 关的充要条件是β1 ,β2 , … ,βm 线
性相(无) 关 .
—8—
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(3 ) yj
1
, …, yj
r
为 y1 , y2 , … , ym 的 最大无关组的 充要条件 是
βj
1
, …,βj
r
为β1 ,β2 , … ,βm 的最大无关组 .
3. 坐标变换
设数域 K 上的线性空间 V
n
的两个基分别为 (Ⅰ) x1 , x2 ,… , xn
和(Ⅱ ) y1 , y2 , … , yn , 且由基 (Ⅰ) 改变为基 (Ⅱ) 的过渡矩阵为 C, x
∈ V
n
在基 (Ⅰ) 和基(Ⅱ ) 下的坐标 (列向量) 分别为 α和β, 则有:
(1 )α = Cβ,β= C
- 1
α.
(2 ) 对于λ0 ∈ K ,存在 x≠ 0 使得α = λ0 β的充要条件是 Cβ =
λ0 β, 即λ0 为 C 的一个特征值 .
4. 标准正交基
设欧氏空间 V
n
的两个基分别为 (Ⅰ ) x1 , x2 , … , xn 和 (Ⅱ) y1 ,
y2 , …, yn , 且由基(Ⅰ ) 改变为基(Ⅱ ) 的过渡矩阵为 C, 基(Ⅰ) 的度
量矩阵为 A, 基(Ⅱ ) 的度量矩阵为 B, 则有 :
(1 ) B = C
T
AC.
(2 ) 基(Ⅰ ) 是标准正交基的充要条件是 A = I.
(3 ) 若基(Ⅰ ) 与基(Ⅱ) 都是标准正交基 , 则 C 是正交矩阵 .
(4 ) 若基 (Ⅰ) ( 或 (Ⅱ ) ) 是标准正交基 , C 是 正 交 矩 阵 , 则基
(Ⅱ) (或基( Ⅰ) ) 是标准正交基 .
5. 相似矩阵
(1 ) A ∈ C
n×n
相似于上( 下) 三角矩阵 .
(2 ) A ∈ C
n×n
相似于 Jordan 标准形矩阵 .
(3 ) A ∈ C
n×n
酉相似于上三角矩阵 .
(4 ) 设 A∈ C
n× n
, 则 A
H
A = AA
H
的充要条件是存在酉矩阵 P,
使得 P
H
AP = Λ(对角矩阵).
(5 ) 设 A ∈ R
n× n
的特征值都是实数 , 则 A
T
A = AA
T
的充要条
件是存在正交矩阵 Q, 使得 Q
T
AQ = Λ.
(6 ) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 .
—9—
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6. 方阵的最小多项式
(1 ) 方阵是其特征多项式的矩阵根 .
(2 ) 方阵的最小多项式整除它的零化多项式 .
(3 ) 方阵的最小多项式与它的特征多项式有相同的零点 ( 不
计重数).
(4 ) 设 n 阶方阵 A 的特征多项为 φ(λ) , 特征矩阵 λI - A 的
n - 1 阶行列式因子为 Dn- 1 (λ) , 则 A 的 最小多项 式为 m(λ) =
φ(λ)
Dn - 1 (λ)
.
(5 ) 设 n 阶方阵 A 的全体初等因子为
(λ- λ1 )
k
1
, …, (λ- λ1 )
k
t
1
(1 ≤ k1 ≤ … ≤ kt
1
)
(λ- λ2 )
l
1
, …, (λ- λ2 )
l
t
2
(1 ≤ l1 ≤ … ≤ lt
2
)
………………
(λ- λs )
r
1
, …, (λ- λs )
r
t
s
(1 ≤ r1 ≤ … ≤ rt
s
)
其中 ,λ1 ,λ2 , … ,λs 互不相同 , 则 A 的最小多项式为
m(λ) = (λ- λ1 )
k
t
1
(λ - λ2 )
l
t
2
…(λ- λs )
r
t
s
7. 线性变换
设线性空间 V
n
的两个基分别为 (Ⅰ ) x1 , x2 , … , xn 和 (Ⅱ) y1 ,
y2 , …, yn ,且由基( Ⅰ) 改变为基( Ⅱ) 的过渡矩阵为 C, 线性变换 T
在基(Ⅰ) 和基( Ⅱ) 下的矩阵分别为 A 和 B, x ∈ V
n
在基( Ⅰ) 下的
坐标为 α, 则有 :
(1 )dim R( T) = rank A, dim N( T) = n - rank A.
(2 ) Tx 在基( Ⅰ) 下的坐标为 Aα.
(3 ) B = C
- 1
AC.
(4 ) T 的特征值与 A 的特征值相同 , T 的对应于特征值λ的特
征向量在基(Ⅰ) 下的坐标为 A 的对应于特征值λ的特征向量 .
(5 ) 在 V
n
中存在某个基使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵Λ的
—01—
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充要条件是 ,存在可逆矩阵 P 使 P
- 1
AP = Λ. 此时 , P 是由基 (Ⅰ)
改变为这个基的过渡矩阵 .
(6 ) T 在 V
n
的某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有
n 个线性无关的特征向量 .
(7 ) 关于正交变换 , 下面四种说法等价 :
1) T 是欧氏空 间 V
n
的正交变换 , 即 对于任意的 x ∈ V
n
, 有
( Tx, Tx ) = ( x, x) ;
2) 对于任意的 x, y ∈ V
n
, 有( Tx, Ty) = ( x, y) ;
3) T 在 V
n
的标准正交基下的矩阵为正交矩阵;
4) T 将 V
n
的标准正交基变换为标准正交基 .
(8 ) 关于对称变换 , 下面两种说法等价 :
1) T 是欧氏空间 V
n
的对称变换 , 即对于任意的 x, y ∈ V
n
, 有
( Tx, y) = ( x, Ty ) ;
2) T 在 V
n
的标准正交基下的矩阵为对称矩阵 .
(9 ) 若 T是欧氏空间 V
n
的对称变换 , 则 T 在 V
n
的某个标准正
交基下的矩阵为对角矩阵 .
(10) 在欧氏空间 V
n
中 ,若正交变换 T 的特征值都是实数 , 则
T 是对称变换 .
8. 线性变换的不变子空间
设 T 是线性空间 V
n
的线性变换 , 则有:
(1 ) R( T) , N( T) 及 Vλ 都是 T 的不变子空间 .
(2 ) 若 V1 和 V2 都是 T 的不变子空间 , 则 V1 ∩ V2 与 V1 + V2
也是 T 的不变子空间 .
(3 ) 若 V
n
可分解为 T 的不变子空间 Vi ( i = 1, 2, … , m) 的直
和 ,则 T 在由 V1 , V2 , … , Vm 的基拼接而 构成 V
n
的基下的矩阵为
准对角矩阵 .
(4 ) 若 T 在 V
n
的某个基下的矩阵为准对角矩阵 diag( A1 , A2 ,
… , Am ) ,则 V
n
可分解为 T 的 m 个不变子空间的直和 .
—11—
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